江苏省扬州市树人高级中学2024−2025学年高二下学期第一次阶段检测 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省扬州市树人高级中学2024−2025学年高二下学期第一次阶段检测 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．函数的导函数是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图所示，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．C．D．
6．函数的极小值点是（ ）
A．1B．（1，﹣）C．D．（﹣3，8）
7．已知函数满足：，，则不等式的解集为
A．B．C．D．
8．设函数，若，且的最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如果曲线在点处的切线过点，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．有下列命题，其中真命题的有（ ）
A．若，则A，B，C，D四点共线
B．若，则A，B，C三点共线
C．若为不共线的非零向量， ，则//
D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式k1＋k2＋k3＝，则k1＝k2＝k3＝0
11．已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．若有3个零点，则a的范围为
B．时，是的极值点
C．时.有唯一零点且
D．时，恒成立
三、填空题（本大题共3小题）
12．若某物体运动规律是S=t3-6t2+5（t＞0），则在t= 时的瞬时速度为0．
13．已知空间向量满足，，则与的夹角为 ．
14．若存在实数a，对任意，不等式恒成立，则实数b的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数在处的切线平行于直线.
(1)求的值；
(2)求的极值.
16．已知函数.
（1）求曲线y=f(x)在点P(1，-2)处的切线方程；
（2）过点P(2，2)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程.
17．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足．
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
18．已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论函数的零点个数．
19．给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】.
故选B.
2．【答案】B
【详解】.
故选B.
3．【答案】B
【解析】先求导可得,则可转化问题为在上有解,进而求解即可
【详解】由题得,,
因为,则若函数在区间存在单调递减区间,
即在上有解,
即存在,使得成立,
设,则,
当时,,
所以,即,
故选B.
4．【答案】C
【详解】∵，∴.
令，得.
则函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.
选项A：违背函数在区间上单调递减.判断错误；
选项B：违背函数在区间上单调递减. 判断错误；
选项C：函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.判断正确；
选项D：违背函数在区间上单调递减. 判断错误.
故选C.
5．【答案】A
【详解】由题意可得：
=.
故选A.
6．【答案】A
【详解】，由得
函数在上为增函数，上为减函数，
上为增函数，故在处有极小值，极小值点为1.
7．【答案】A
【详解】是减函数，由得：
故选A.
8．【答案】B
【详解】因为，作出的大致图象，如图，

令，由图象可得，
因为，所以，即，
则，
令，
则，令，解得，
当，即时，，则，单调递减，
则，解得，符合；
当，即时，
当时，；当时，；
故在单调递减，在单调递增，
则，解得，不符合；
综上，.
故选B.
9．【答案】CD
【详解】因为切点为，所以，故A正确；
而为切线上的点，不一定为切点，故C错误；
由切线经过和可得切线斜率，
所以由导数的几何意义知，，故B正确D错误.
故选CD.
10．【答案】BCD
【详解】根据共线向量的定义，若，则AB//CD或A，B，C，D四点共线，故A错；
由且、有公共点A，故B正确；
由，所以//，故C正确，
若条件等量关系中系数不都为0，则k1＋k2与k3不可能共线，显然与题设矛盾，故D正确．
故选BCD.
11．【答案】AC
【详解】令，则，记则
所以在单调递增，且值域为，在上单调递减，在上单调递增，且在上的值域为
若有3个零点，则，故A对.
当时，，，在单调递增，在单调递减.当时，最小值为0，故可知，所以在上单调递增，无极值点，故B错.
当时，，，在单调递增，在单调递减.当时，最小值为1，故可知，所以在上单调递增，此时有唯一的零点，且，由零点存在性定理可知，故C对.
当时，，，故D错.
故选AC.
12．【答案】4
【详解】解：∵质点按规律S=t3-6t2+5运动，
∴S′=3t2-12t，
令S′=3t2-12t=0，
解得t=4， (t=0舍去)
∴质点在4s时的瞬时速度为0．
13．【答案】/60°
【详解】由，即首尾相连可构成三角形，
所以，
又，故.
14．【答案】
【详解】，，即，
令，则， 时，，单调递增，
且，
令，则，
且，，
所以存在使得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
且，故，画出各个函数图像，如图所示：
当时，直线恒位于的图象上方，的图象下方，
b代表直线在y轴上的截距，
当直线变化时，观察得当直线过，且与曲线相切时，b最小．
设切点为，则，
整理得，
令，则，
，
而当时，，，
，故当|时，，
所以当时，为增函数，所以有唯一的零点1，
所以，切点为，此时直线方程为，故．
15．【答案】(1)
(2)的极大值为，极小值为
【分析】（1）由导数的几何意义计算即可；
（2）利用导数研究函数的极值即可.
【详解】（1）由已知可得，
而直线的斜率为，
所以；
（2）由（1）得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故极大值为，极小值为.
16．【答案】（1）；（2）与.
【详解】解：（1）由题意可知，则在处的切线斜率，
则在点P(1，-2)处的切线方程为：，即切线方程为：.
（2）因为，所以设切点为，斜率为
则所求切线方程为： ①
因为切线过点P(2，2)，所以有
解得：或
代入①化简可得切线方程为：或.
17．【答案】(1)，，共面
(2)点M在平面ABC内
【详解】（1）由题知，
则，
即，
所以，，共面．
（2）由（1）知，，共面且基线过同一点M，
所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内．
18．【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析.
【详解】（1）由题意，
在中，
当时，，则在R上单调递增；
当时，令，解得：，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
综上所述，
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）在中，
当时，，
当时，无解，
∴无零点．
当时，．
令，
在中，，
当时，；
当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
且，
∵当时，时，，
∴当即时，无零点，
当即时，有一个零点；
当即时，有两个零点；
当，即时，有一个零点．
综上所述，
当时，无零点；
当或者时，有一个零点；
当时，有两个零点．
19．【答案】(1)答案见详解；
(2)既不充分也不必要条件；证明见详解；
(3).
【分析】（1）由和，结合题设中函数的定义，即可得到答案；
（2）由成立，得到，设，得出为“单向导函数”，再设，得到为“双向导函数”，结合不是常值函数，求得不是的必要条件；再由成立，得到，进而得出结论；
（3）①由题意得到，求得；②由题意求得且，令，求得，得到存在使得，进而得到单调性，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）对于函数，则，
这两个函数的定义域都是，
所以函数为“同定义域函数”，此时，，
由函数的定义，对于，无法同时成立，
所以为“单向导函数”，其“自导函数”为，
对于函数，则，
因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”；
（2）若成立，，则，
设，则，所以为“单向导函数”，
又设，则，所以为“双向导函数”，
但不是常值函数，所以不是的必要条件；
若成立，则，所以，所以，
所以不成立，所以是的既不充分也不必要条件；
（3）①由题意，，且，
所以，所以；
②由题意，所以且，
令，
可得，且，
因为为单调递增函数，且，
所以存在使得，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
（i）当时，即，
所以，
此时，在上单调递增，可得；
（ii）当时，，此时，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，所以；
（iii）当且时，，
所以函数在上存在两个极值点，
若，即时，极大值点为；
若，即时，极大值点为，
则为函数的极大值或，
由当时，，
令，则，
设，
则，
所以，即单调递增，所以，
所以单调递增，所以，
综上可得，，所以实数的取值范围为.
【方法总结】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．