四川省内江市威远中学校2024-2025学年高二下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省内江市威远中学校2024-2025学年高二下学期期中考试 数学试题（含解析），共8页。试卷主要包含了在等比数列 中， ， ，则，函数 的单调递增区间是，已知数列 满足 ，则，已知 ，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共 58 分）
选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
2．在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
3．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C． D．
4．在等比数列{an}中，an>0，且 a1+a2=1，a3+a4=9，则 a4+a5 的值为（ ）
A．16 B．27 C．36 D．81
5．已知等差数列 的公差 ， ， ，记该数列的前 n 项和为 ，则 的最大值为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．40
6．已知函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 的值为（ ）
A．360 B．480 C．960 D．1280
8．
A．1 B．-1 C．2 D．-2
二. 多选题（本题共 3 个小题，每题 6 分，有多个选项，共 18 分）
9．已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． 的前 n 项和为
C． 的前 100 项和为 100 D． 的前 30 项和为 357
10．已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处的切线方程为 B． 的单调递减区间为
C． 的极大值为 D．方程 有两个不同的解
11．已知数列 满足 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 为等比数列 B． 的通项公式为
C． 为递增数列 D． 的前 n 项和
第Ⅱ卷 （非选择题 共 92 分）
三. 填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，请把答案填在答题卡相应位置上.
12．已知数列 的前 项和为 ， ，则 .
13．曲线 上的点到直线 的最短距离是 .
14．设 为数列 的前 项和，已知 ， ，则 .
四、解答题（本大题共 5 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.(本小题满分 13 分）已知曲线 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求过点 且与曲线 相切的直线方程.
16.(本小题满分 15 分）已知数列 的前 n 项和 ，数列 的前 n 项和 ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 n 项和 ．
17.(本小题满分 15 分）已知数列 ，若 ，且 ．
(1)证明数列 是等比数列，并求出 的通项公式；
(2)若 ，且数列 的前项和为 ，求 ．
18.(本小题满分 17 分）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间和极值；
(2)若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题满分 17 分）已知函数 ，记 ，且 ，
(1)求 ， ；
(2)设 ， ，
（ⅰ）证明：数列 是等差数列；
（ⅱ）数列 的前 n 项和为 ，且对任意的 ，满足 ，求 的取值范围.
威远中学校 2026 届高二下半期考试数学试题参考答案 .
1．D 解：由 ，根据等差数列的求和公式， ，
又 .故选：D
2．B 解：由题意 ，且 ，所以 .故选：B.
3．C 解：由题设， 且 ，可得 ，所以 递增区间为 .
故选：C
4．B 解：∵a1+a2=1，a3+a4=9，∴q2=9.∴q=3（q=-3 舍去）∴a4+a5=（a3+a4）q=27.故选：B
5．C 解：等差数列 中，公差 ，即数列 是递减等差数列，
显然 ，而 ，且 ，解得 ，则 ，
，由 ，得 ，因此数列 前 9 项均为非负数，从第 10 项起均为负数，所以
的最大值为 .故选：C.
6．B 解：由图象可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 或 时， ；当 时， ；
而 等价于 ①，或 ②，由①得 或 ，则 ，
由②得 ，则 ，综上， .故选：B.
7．D 解：当 n 为奇数， ， ，当 n 为偶数， ， ，
因此 ， 的奇数项是以 3 为首项，3 为公差的等差数列；
的偶数项是以 为首项，3 为公差的等差数列，所以
.故选：D
8. A 解：
9．AD 解：当 时， ，当 时， ，
两式相减可得： ，所以 ，
显然当 时， 满足 ，故 ，故 A 正确；由等差数列求和公式知 的前 项和为
，故 B 错误；令 ， 的前 100 项和为：
，故 C 错误；令 ，所以 的前 30 项和为：
，故 D 正确.故选：AD.
10．BC 解：对于 A，由 （ ），得 ， ，则 ，所以 在 处
的切线方程为 ，所以 A 错误，对于 B，由 ，得 ， ，所以 的单调递减区间为
，所以 B 正确，对于 C，由 ，得 ，当 时， ，当 时， ，所以
当 时， 取得极大值 ，所以 C 正确，对于 D，由 C 选项可知 的最大值为 ，且当
时， ，当 时， ， 所以函数 与 的交点个数为 1，所以
有 1 个解，所以 D 错误，故选：BC
11．ABD 解：因为 ，所以 +3，所以 ，又因为
，所以数列 是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，故 A 正确；
，即 ，故 B 正确；因为
，因为 ，所以
，所以 ，所以 为递减数列，故 C 错误； ，则
，故 D 正确.故选：ABD.
12． 解：当 时， ，当 时， ，
此时 ，不符，故 .故答案为：
13． 解：与 平行的直线和 相切，则斜率为 ，因为 ，所以 ，令 ，解方
程得 ，代入直线方程得切点 ，则点 到直线的距离就是曲线 的点到直线 的最短距离，
由点到直线的距离公式知 ，故答案为： .
14. 解： ，令 ，则 ，∴又
， ，∴ ；
①， ②，①减②得：
，∴ ，∴ .
15．(1) (2) 和 .
解：（1） 当 时， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）设切点坐标为 ，由（1）知切线的斜率为 ，故切线方程为 ，因为切
线过点 ，所以 ，即 ，所以 或 ，故过点 且与
曲线 相切的直线有两条，其方程分别是 和 ，即 和
.
16．(1) ， (2)
解：（1）因为数列 的前 n 项和 ，所以当 时， ；当 时， ，
此时 满足上式，故 ．因为数列 的前 n 项和 ，所以当 时， ；当 时，
，此时 满足上式，
故 ．
（2）因为 ，所以
，则 ，两
式相减得 ，
化简得 ．
17．(1)证明见解析， (2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 是以 为首项、 为公比的等比数列，所以 ，则 .
（2）由（1）可得 ，所以 ，
所以 .
18．(1) 的单调递减区间为： ；递增区间为： ， 的极大值为 ，无极小值(2)
【详解】
（1）当 时， ， ．令 ，
，故 在 R 上单调递减，而 ，因此 0 是 在 R 上的唯一零点即：0 是 在 R 上的唯一零点当
x 变化时， ， 的变化情况如下表：
x 0
0
极大值
的单调递减区间为： ；递增区间为： 的极大值为 ，无极小值
（2）由题意知 ，即 ，即 ，设 ，则
，令 ，解得 ，当 ， ， 单调递增，当
， ， 单调递减，所以 ，
所以
19．(1) ， (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）
【详解】（1）函数 ， ，
.
（2）（i）由（1）知， ，又 ，可得 ，
而 ，则 ，
所以数列 是首项为 4，公比为 4 的等比数列，故 ，则 ， ，从而 ，所以
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
（ii）由（i）得 ，即有 ， ，
于是 ，两式相减得
，所以 ，
又对任意的 ，满足 ，可得 恒成立，设 ，
则 ，当 时， ，即 ，当 时，
，即 ，
所以可得 的最大值为 ，所以 ，即 即可,
故 的取值范围 .