陕西省西安市长安区第一中学2024−2025学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

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这是一份陕西省西安市长安区第一中学2024−2025学年高二下学期期中考试数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若数列是等比数列，且则的值为（）
A．1B．2C．3D．4
2．已知为虚数单位，复数，则（）
A．B．C．D．
3．已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．展开式中项的系数为160，则（）
A．2B．4C．D．
5．已知函数，则函数在处的切线方程是（）
A．B．C．D．
6．某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（）
A．16种B．12种C．8种D．6种
7．已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
8．冯哈伯公式用于计算正整数幂的和，平方和公式是其中一个特例．已知定义在上的函数满足，，且，则（）
A．B．0C．1D．2
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列判断正确的为（）
A．从4名男同学和3名女同学中选出2人，则至少有1名女同学的选法有12种
B．如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为凹数（如101，323），那么由0，1，2，3可以组成14个凹数
C．某会议厅有4个门，某人选择一个门进，选择一个门出，则有12种不同的走法
D．已知，，则不同取值的个数为54
10．如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（）
A．直线与平行
B．四面体的体积为定值
C．点到平面的距离为
D．异面直线与所成的角为
11．如果一个人爬台阶的方式只有两种，在台阶底部（第0级）从下往上走，一次上一级台阶或一次上两级台阶，设爬上级台阶的方法数为，则下列结论正确的有（）
A．若用7步走完了10级台阶，则不同的走法有35种．
B．
C．是偶数
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．盒中装有标有数字1，2，3的卡片各2张，从盒中任意抽取2张，每张卡片被取出的可能性都相等，则抽出的2张卡片上最大的数字是3的概率为 .
13．已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为 .
14．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列满足
(1)求数列的通项公式
(2)若数列满足，求数列的前项和
16．某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

(1)求的值；
(2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率；
(3)将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望.
17．如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，是棱上的一点，是棱的中点.
(1)证明：.
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
18．已知抛物线的顶点为，焦点为
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于A、两点，若直线，分别交直线：于、两点，求的最小值.
19．已知函数.
(1)若，判断函数的单调性，并说明理由；
(2)若时，恒成立.
（i）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：，.
参考答案
1．【答案】B
【详解】数列是等比数列，则，
则.
故选B.
2．【答案】C
【详解】，
则，
故选C.
3．【答案】D
【详解】若，，
所以，，
当时，，当时，，此时
故“”是“”的不充分条件，
因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故，但两个向量间的系数不确定，不能推出“”；
综上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选D.
4．【答案】C
【解析】先求得展开式中的系数，可得展开式中的系数，从而得答案.
【详解】二项式展开式的通项为，
令可得二项式展开式中的系数为，
∴展开式中的系数为，
可得，解得，
故选C．
5．【答案】B
【详解】，令，可得，
，
所以在处的切线方程为.
故选B.
6．【答案】C
【详解】马术比赛和跑步比赛不相邻的情况为：种，
马术比赛和跑步比赛不相邻且游泳比赛在第一或最后一场的情况为：种，
故不同的比赛方式共有种.
故选C.
7．【答案】D
【详解】令，由，得，，
由双曲线定义，，
在中，，
由余弦定理可得，
得，整理得，
解得，所以，，．
在由余弦定理，
得，
整理得，则．
故选D.
8．【答案】C
【详解】由题意得：
，
所以，.
则，
所以．
故选C.
9．【答案】BD
【详解】对于A项，选出的2人中，1男1女的选法有，2名女同学的选法有，所以至少有1名女同学的选法有15种，故A项错误；
对于B项，当时，此时、可取1，2，3中的任意一个，共有个凹数；
当时，此时、可取2，3中的任意一个，共有个凹数；
当时，此时、只可取3，共有1个凹数，
根据分类加法计数原理可知，共有个凹数，故B项正确；
对于C项，由已知可得，不同的走法有，故C项错误；
对于D项，当，时，有，1种结果；
当时，此时，1种结果；
当，，时，根据分步乘法计数原理可知，此时有种情况，
但是，，，，去掉重复的4种情况，剩余52种情况.
根据分类加法计数原理，可知不同取值的个数为，故D项正确.
故选BD.
10．【答案】ABC
【详解】对于A选项，连接，
因为是侧面的中心，是底面的中心，
则为的中点，为的中点，
所以在中，为的中位线，即，A正确；
对于B选项，因为，平面平面，
所以平面，
又点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值，
又为定值，所以四面体的体积为定值，B正确；
对于C选项，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，
则，
解得，令，得，则，
所以点到平面的距离，C正确；
对于D选项，，,
则，
故异面直线与所成的角不为，D错误.
故选ABC.
11．【答案】ABD
【详解】A选项：∵，即要想用7步走完了10级台阶，其中有4次选择一次上一级台阶，3次选择一次上两级台阶，故共有种走法，A选项正确；
根据题意，爬上第个台阶有两种可能，
一种是从第个台阶上一次上1个台阶爬上来，有种方式；
一种是从第个台阶上一次上2个台阶爬上来，有种方式，
∴，且，
∴，，，，，，，.
B选项：，B选项正确；
C选项：由数论可知中存在两个奇数一个偶数，由前三项可知和为奇数，为偶数（），∵，∴是奇数，C选项错误；
D选项：∵，∴，
即
，D选项正确.
故选ABD.
12．【答案】/
【详解】记“抽出的2张卡片上最大的数字是3”的事件为.
记标有数字1的2张卡片分别为，；标有数字2的2张卡片分别为，；标有数字3的2张卡片分别为，.
从盒中任意抽取2张卡片的基本事件有15个，分别为，，，，，，
，，，，，，，，.
抽出的2张卡片上最大的数字是3的基本事件有9个，分别为，，，，
，，，，.
故.
13．【答案】9
【详解】因为，且，则由对称性得，
又，
所以，故，
又因为，
所以，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为9.
14．【答案】
【详解】设，则．
由当时，，得，即，故在区间上单调递增．
又，所以，即．
因为为上的偶函数，所以，
即，计算得，所以，
解得或．
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得，
故当时，，
，
，
…….
，
累加后可得，
所以，
当时，代入成立，
所以数列的通项公式为.
（2），
当时，，
此时
；
当时，，
，
综上
16．【答案】(1)；
(2)；
(3)0.6.
【详解】（1）根据频率之和等于1可得，
，解得.
（2）由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于，
所以电池续航时间不少于35小时的电池有组，
电池续航时间少于35小时的电池有组，
所以从抽取的50组电池中任取2组，
恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为.
（3）由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于
由题可知，随机变量服从二项分布，所以,
所以所有可能的取值有0,1,2，
所以
,
所以的分布列如下，
所以的数学期望为.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵四边形是正方形，，
∴.
∵是棱的中点，
∴.
∵平面，平面，
∴，
∵，，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵，平面，
∴平面，
∵平面，
∴.
（2）
以为原点建立空间直角坐标系，设，则，，，
∴，，
设平面的法向量为，则,
令，则，故.
由题意得，平面的法向量为，
∴，解得或（舍），
∴，故.
18．【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）由题意可设抛物线的方程为，则，解得，
故抛物线的方程为；
（2）设，，依题意可设直线的方程为，
由消去，整理得，所以，，
从而有.
直线的斜率，即直线的方程：，
由，解得点的横坐标为，
同理，直线的方程：，联立可得，
所以
，
设，，则，
于是，
当时，，，
当时，，则，当取等号.而，
所以当，即时，的最小值是.
19．【答案】(1)在上单调递增，理由见详解
(2)（i）；（ii）证明见详解
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，，
.
所以函数在上单调递增.
（2）（i）.
当时，，所以，满足题意；
当时，令，
则，在上单调递减，
所以当时，，即，单调递减，
所以，不符合题意.
综上，实数的取值范围是.
（ii）由（i）可知对时恒成立.
令，则，则有.
取，有
即.
0
1
2