重庆市垫江第一中学校2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试题（含解析）

这是一份重庆市垫江第一中学校2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数f（x）＝ex+x在[﹣1，1]上的最大值是（ ）
A．eB．e+1C．﹣e+1D．e﹣1
3．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）

A．B．
C．D．
4．已知函数，若在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．函数图象上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A．B．C．1D．
6．从1，2，3，4，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，则数字2只出现一次的取法总数有（ ）
A．16B．48C．75D．96
7．已知，则a，b，c大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ）
A．在区间上是增函数
B．在区间上是减函数，在区间上是增函数
C．是的极大值点
D．是的极小值点
10．定义：设 是 的导函数，是函数 的导数，若方程有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心． 已知函数 的对称中心为 ，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．函数 既有极大值又有极小值
C．函数 有三个零点D．对任意 ，都有
11．已知函数的导函数为，若，且，，则的取值可能为（ ）
A．5B．4C．3D．2
三、填空题（本大题共3小题）
12．若函数在处有极小值，则实数的值为 .
13．由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有 个.
14．设实数，若对不等式恒成立，则m的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．求下列函数的导数.
(1)；
(2).
16．已知函数
(1)求函数的极大值;
(2)当时，求的值域.
17．已知函数．
(1)若，求曲线在处切线方程；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．
18．已知函数，其中为实数，
（1）若，求函数的最小值；
（2）若方程在上有实数解，求的取值范围；
19．已知函数.
（1）若对任意，恒成立，求的取值范围；
（2）若函数有两个不同的零点，，证明：.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由已知，所以．
故选A．
2．【答案】B
【详解】，
，
在上单调递增，
时，的最大值为.
故选.
3．【答案】D
【详解】由的图象可知，在上为单调递减函数，故时，，故排除A，C；当时，函数的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，
故选D.
4．【答案】D
【详解】由已知可得，.
因为在R上单调递增，所以恒成立.
因为，
所以恒成立，
所以，，解得.
故选D.
5．【答案】B
【详解】解：设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为：，
设切点为，
又因为，所以，解得，
所以切点，
又因为点到直线的距离为，
所以函数图象上的点到直线的距离的最小值是.
故选B.
6．【答案】B
【详解】有放回三次抽取的数字中，2只出现一次，按抽取的顺序有3种方法，另两次抽取的数字各有4种方法，
所以不同取法总数是.
故选B.
7．【答案】D
【详解】根据式子结构，构造函数，则，
令，则，令，得，
因此在单调递增，在单调递减，
而，，，
因为，所以，即.
故选D.
8．【答案】D
【详解】函数的导数为，
则x>0时，，f(x)递增;
因为，则f(x)为偶函数，则不等式可化为
又因为x>0时, f(x)递增，且f(x)为偶函数，
所以，解得：
故选D.
9．【答案】BCD
【详解】根据图象知，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，故A错误，故B正确；
当时，取得是极大值，是的极大值点，故C正确；
当时，取得极小值，是的极小值点，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】AB
【详解】由题意可知，，
而，故A正确；
此时，，
显然或时，，则在上单调递增，
时，，即在上单调递减，所以在时取得极大值，在时取得极小值，故B正确；
易知，
结合B结论及零点存在性定理可知在存在一个零点，故C错误；
易知，故D错误.
故选AB.
11．【答案】AB
【详解】因为，
令，则
，
所以在定义域上单调递增，
所以，即，
又，，
所以，所以，
又，所以，，
所以的可能取值为、.
故选AB.
12．【答案】
【详解】由已知可得，
又函数在处有极小值，所以，
解得，所以，
当时，，当时，，
所以函数在处取得极小值.
13．【答案】
【详解】能被整除的三位数说明末尾数字是或
当末尾数字是时，百位数字除了有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法；
当末尾数字是时，百位数字有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法；
则一共有种.
14．【答案】
【详解】由，
构造函数，
在为增函数，则
即对不等式恒成立，则，
构造函数
令，得；令，得；
在上单调递增，在上单调递减，
，即.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）
16．【答案】(1)极大值
(2)
【详解】（1）由题意的，
令，解得或；令，解得；
则在上单调递减；在和上单调递增，
如下表：
所以极大值为.
（2）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以最小值，
又，，
所以当时，的值域为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，.
首先求的导数：可得.
然后求和的值：
将代入，得.
将代入，得.
最后根据点斜式方程求切线方程：则切线方程为，即.
（2）当时，恒成立，即恒成立.
对不等式进行化简：可得在上恒成立.
设，则.
求的导数：可得.
设，求的导数：.
因为，所以，，则.这说明在上单调递减.
所以，即.则在上单调递减.
所以.因此，.
则实数的取值范围是.
18．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）当时，，则，由得：；
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
.
（2）；
①当时，在上恒成立，在上单调递增，
，方程在上无实数解，不合题意；
②当时，在上恒成立，在上单调递减，
，方程在上无实数解，不合题意；
③当时，令得：；
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，，
若方程在上有实数解，则只需，
即，解得：，；
综上所述：的取值范围为.
19．【答案】（1），（2）证明见解析
【解析】（1）对任意，恒成立，可变形为，因此只要求得的最大值即可，这可由导数的知识求解；
（2）首先利用导数研究的单调性，确定零点分布，不妨设，得，然后用分析法转化所要证不等式为，由，这时以退为进，证明，即证，现在可构造函数，.证明，这又可用导数证明．
【详解】（1）解：由对任意恒成立，得对任意恒成立.
令，则.
令，则.
在上，，单调递增；在上，，单调递减.
故，
则，即的取值范围为.
（2）证明：设，，则.
在上，，单调递增；在上，，单调递减.
∵，，当时，，且，
∴，.
要证，即证.
∵，，在上单调递减，
∴只需证明.
由，只需证明.
令，.
，
∵，∴，，
∴，
∴在上单调递增，
∴，
即，∴.1
正
0
负
0
正
增
极大值
减
极小值
增