宁夏2024-2025学年高二下学期第一次月考数学检测试卷（附答案）

这是一份宁夏2024-2025学年高二下学期第一次月考数学检测试卷（附答案），共15页。试卷主要包含了 判断下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回，试卷保留.
一､单项选择题（每小题5分，共计40分）
1. 函数的极小值为（ ）
A. B. C. 15D. 17
【正确答案】B
【分析】对函数求导，令导数等于0，求得，分别研究导函数在,和时的单调性，从而得极小值点，代入函数解析式求得极小值.
【详解】由函数，求导得,
令,得,
当时, ,函数单调递增;
当时, ,函数单调递减;
当时, ,函数单调递增;
所以是极小值点,所以函数的极小值为.
故选：B
2. 定义“分组排列”：先将个不同元素分成组（），再对这组进行全排列.现有6名志愿者，要分成3组，一组1人，一组2人，一组3人，然后将这3组分配到3个不同的社区服务，则不同的分配方法有（ ）种.
A. 360B. 120C. 60D. 240
【正确答案】A
【分析】根据题意，先将6名志愿者，要分成3组，再将3组分配到3个不同的社区服务，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，先将6名志愿者，要分成3组，一组1人，一组2人，一组3人，
共有种不同的分组；
再将这3组分配到3个不同的社区服务，则不同的分配方法有种.
故选：A.
3. 如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条.
A. 40B. 36C. 42D. 60
【正确答案】B
【分析】由分步乘法计数原理及组合知识求解即可.
【详解】蚂蚁从 A到C需要走五段路，其中二纵二横，共有条路径，
从C到B共有6条路径，根据分步乘法计数原理可知，
蚂蚁从A 到B可以爬行的不同的最短路径的条数为.
故选：B
4. 在二项式展开式中，系数最大项的系数是
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】二项式的展开式的通项为设二项式的展开式中，系数最大项为，则，即，解得，又,；则系数最大项的系数为.
考点：二项式定理.
5. 已知函数是减函数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】求导得，根据题意可得对恒成立，求得的最小值即可.
【详解】由，可得，
因为函数是减函数，所以对恒成立，
即对恒成立，所以对恒成立，
所以，又，当且仅当时等号成立，
所以，所以，所以的取值范围为.
故选：D.
6. 已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】求得，对和的大小进行分类讨论，利用函数的极值点与导数的关系可得出实数的取值范围.
【详解】因为，则，
由可得，，
因为函数在处取得极大值，则，
当时，则，列表如下：
故当时，函数在处取得极小值，不合乎题意；
当时，则，列表如下：
故当时，函数在处取得极大值，合乎题意.
综上所述，.
故选：D.
7. 已知R上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论．
【详解】由图象知的解集为，的解集为，
或，
所以或，解集即为．
故选：D．
8. 已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】设，利用导数求得单调递增，得到，即可求解.
【详解】根据题意知，即，构造函数，
可得，因为，所以，
所以在上单调递增，
则，两边同乘，即．
故选:B
二､多项选择题（每小题6分，共计18分）
9. 判断下列命题正确的是（ ）
A. 函数的极小值一定比极大值小．
B. 对于可导函数，若，则为函数的一个极值点．
C. 函数在内单调，则函数在内一定没有极值．
D. 三次函数在R上可能不存在极值．
【正确答案】CD
【分析】根据导数与极值的关系依次判定即可.
【详解】对于A选项，根据极值定义，函数的极小值不一定比极大值小，则A选项错误；
对于B选项，若或恒成立，则无极值点，此时导函数零点为函数拐点，则B选项错误；
对于C选项，在内单调，因为区间为开区间，所以取不到极值，则C选项正确；
对于D选项，三次函数求导以后为二次函数，若或恒成立，则无极值点，故D选项正确；
故选：CD.
10. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A. 是函数的极值点B. 在区间上单调递增
C. 是函数的最小值点D. 在处切线的斜率小于零
【正确答案】AB
【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解.
【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确；
则是函数的极小值点，故A正确；
在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；
函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确．
故选：AB
11. 已知函数，为的导函数，则（ ）
A. 曲线在处的切线方程为
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上有极小值
D. 在区间上有两个零点
【正确答案】BC
【分析】求出函数，再利用导数的几何意义求解判断A；结合单调性、极小值意义判断BC；求出零点个数判断D.
【详解】依题意，，
对于A，，，所求切线方程为，A错误；
对于B，当时，，在区间上单调递增，B正确；
对于C，在上都单调递增，则函数在上单调递增，
，，则存唯一，使得，
当时，；当时，，因此在处取得极小值，C正确；
对于D，由选项C知，在上有唯一零点，又，
当时，，即，，
因此在区间上有1零点，D错误.
故选：BC
三､填空题（每小题5分，共计15分）
12. 已知，则________．
【正确答案】
【分析】根据已知条件及组合数公式求得，再利用组合数的性质
递推关系及组合数公式即可求解
【详解】由，得，解得.
所以.
故答案为.
13. 用6种颜色给下图四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有__________种.（答案用具体数字表示）
【正确答案】
【分析】根据对棱颜色是否相同进行分类，再由分类加法计数原理以及排列组合计算可得结果.
【详解】四面体的对棱可以涂同一种颜色，也可以涂不同的颜色，
第一种：若所有相对的棱涂同一种颜色，则一共用了三种颜色，
不同的涂色方案共有种；
第二种：若3对相对的棱中有2对涂同一种颜色，则一共用了四种颜色，
不同的涂色方案共有种；
第三种：若3对相对的棱中有1对涂同一种颜色，则一共用了五种颜色，
不同的涂色方案共有种；
第四种：若3对相对的棱中颜色各不相同，则一共用了六种颜色，
不同的涂色方案共有种；
综上可得，总的染色方法共有种.
故
14. 函数在区间上有两个零点，则m的取值范围是________.
【正确答案】
【分析】
由分离参数得，，引入函数，用导数研究函数的单调性极值后可得结论．
【详解】由题意方程（）有两个实根，即在上有两个实根，
设，则，当时，，递减，时，，递增，，又，而时，，
∴当时，的图象与直线在上有两个交点，即原函数有两个零点．
故
关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是问题的转化，函数零点个数常常转化为方程的解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，为此引入新函数，研究函数的单调性，极值，确定函数图象的变化趋势后可得结论．
四､解答题（共计77分）
15. 已知函数（）在处取得极小值.
（1）求a的值，并求函数的单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【正确答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为
（2）最大值为，最小值为1.
【分析】（1）求导，根据得到，由求出单调递增区间，由求出单调递减区间；
（2）在（1）求出单调性的基础上，得到最值.
【小问1详解】
，
由题意得，解得，
，定义域为R，
，
令得或，令得，
故单调递增区间为，单调递减区间为，
此时函数在处取得极小值，满足题意；
【小问2详解】
由（1）知，故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，，
又，其中，
故在区间上的最小值为1，
综上，在区间上的最大值为，最小值为1.
16. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛．
（1）如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？
（3）如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？
【正确答案】（1）60 （2）91
（3）14
【分析】（1）用组合知识直接求解；（2）先求出若小王和小红均未入选时的选法，从而求出如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选时的选法；（3）分两种情况进行求解，再使用分类加法计数原理进行求解.
【小问1详解】
从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，，故有60种选法；
小问2详解】
若小王和小红均未入选，则有种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有种选法；
【小问3详解】
若2个考点派送人数均为2人，则有种派送方式，
若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有种派送方式，故一共有8+6=14种派送方式.
17. 已知函数在处取得极值-14.
（1）求a，b的值；
（2）求曲线在点处的切线方程；
（3）求函数在上的最值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）函数在上的最小值为，最大值为.
【分析】(1)求导，利用在处的导数值为0，并且，解之检验即可求解；
(2)结合（1）的结果，求出函数在处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；
(3) 结合（1）的结果，列出在时，随的变化，的变化情况，进而即可求解.
【小问1详解】
因为函数，所以，
又函数在处取得极值.
则有，即，解得：，
经检验，时，符合题意，故.
【小问2详解】
由（1）知：函数，则，
所以，又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
也即.
【小问3详解】
由（1）知：函数，则，
令，解得：，
在时，随的变化，的变化情况如下表所示：
由表可知：当时，函数有极小值；
当时，函数有极大值；
因为，，
故函数在上的最小值为，最大值为.
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）当，时，证明.
【正确答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用函数的导数，通过的范围，判断函数的单调性即可.
（2）构造函数，通过函数的导数，求解函数的最值，转化求解即可.
【详解】解：（1）因为，定义域为，所以，
当时，，则在上单调递增.
当时，.
所以当时，；当时，.
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：当时，设，则.
当时，，在上是增函数.
从而，即，
所以.
故当时，有成立
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题.
19. 设函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若恒成立，求m取值范围.
【正确答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）利用导数含参讨论函数的单调性即可；
（3）分离参数，利用导数研究函数的最值即可.
【小问1详解】
当时，，
则在处的切线方程为：；
【小问2详解】
由，
若，则恒成立，即在上单调递增；
若，则时，有，即在上单调递减，
时，有，即在上单调递减；
综上：若时，在上单调递增；若时，在上单调递减；
【小问3详解】
不等式恒成立，
设，
易知在上单调递增，
又，所以时有，时有，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故m的取值范围.增
极大值
减
极小值
增
增
极大值
减
极小值
增
单调递减
单调递增
单调递减