2024-2025学年宁夏银川市高一下册第一次月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年宁夏银川市高一下册第一次月考数学检测试卷（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数中，周期是，又是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由三角函数的周期以及奇偶性，可得答案.
【详解】对于A，易知函数的周期为，又是奇函数，故A错误；
对于B，易知函数的周期为，又是奇函数，故B错误；
对于C，易知函数的周期为，又是奇函数，故C错误；
对于D，易知函数的周期为，又是偶函数，故D错误.
故选：D.
2. 如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据正六边形性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.
对于B，因为，故，故B正确.
对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.
对于D，因为交于，故不成立，故D错误，
故选：D.
3. （ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】C
【分析】先应用诱导公式，再逆用两角和的正弦公式即可求值.
【详解】.
故选：C.
4. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】
利用诱导公式、三角函数单调性求解.
【详解】解：选项A：,
因为,又因为,
所以,故A错误；
选项B：,
因为,在单调递减,
又因为,,
所以成立,故B正确；
选项C.,
因为在单调递增,所以,
故,故C错误；
选项D：,
因为在单调递增,在单调递减,
且,,,
故,故D错误.
故选：B.
本题主要考查诱导公式在三角函数化简中的应用,考查利用三角函数单调性比较三角函数值的大小，属于中档题.
5. 人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A. 50B. 70C. 90D. 130
【正确答案】B
【分析】根据频率公式进行计算.
【详解】由题意得，此人每分钟心跳的次数为.
故选：B
6. 设函数f（x）＝sin2x，，若，函数是偶函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由诱导公式和余弦函数为偶函数，可得（），再由的范围，可得所求值.
【详解】函数f（x）＝sin2x，x∈R，
函数f（x+）＝sin2（x+）＝sin（2x+2），
由于f（x+）是偶函数，可得2＝kπ+（k∈Z），
即（k∈Z），
由∈[0，），可得的值为 .
故选：C.
7. 设，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解，再分析角度范围得到即可
【详解】因为，所以，且，所以，则
故选：A．
8. 已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，下列说法错误的是（ ）
A. B. 直线是图象一条对称轴
C. 在上单调递减D. 是奇函数
【正确答案】B
【分析】由可得，由对称中心可求得，从而知函数的解析式，再根据余弦函数的图象与性质，逐一分析选项即可.
【详解】因为点在的图象上， 所以.又，所以.
因为图象的一个对称中心是，所以，，
则，.又，所以，则，A正确.
，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确.
当时，，单调递减，C正确.
，是奇函数，D正确.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】根据向量加法的运算法则即可得到答案.
【详解】对于A，；
对于B，；
对于C，；
对于D，.
故选：ABD.
10. 关于函数，下列说法中正确的有（ ）
A. 是奇函数B. 在区间上单调递增
C. 为其图象的一个对称中心D. 最小正周期为
【正确答案】BCD
【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】A中，由正切函数的性质，可得为非奇非偶函数，所以A错误；
B中，令，可得，
即为函数的单调递增区间，令，可得，所以B正确；
C中，令，可得，
令，可得，故为其图象的一个对称中心，所以C正确；
D中，函数的最小正周期为，所以D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，在上单调递减
B. 若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为5
C. 若函数的最小正周期为，则
D. 当时，若关于的方程的两个不相等实根为，，则
【正确答案】AB
【分析】根据辅助角公式化简，即可根据余弦函数的单调性判断A，根据平移的性质，可得求出即可判断B，根据周期公式即可求判断C，由题可求得方程的根计算可判断D.
详解】由可得，
对于A，当时，，当时，，
故在上单调递减，A正确；
对于B，将函数的图象向左平移得，
则，可得，
解得，故的最小值为5，B正确；
对于C，的最小正周期为，故，解得，故C错误；
对于D，当时，，由可得，
故，
则 ，故，因此，故D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的最小正周期为__________.
【正确答案】
【分析】直接根据周期公式可的结果.
【详解】函数的最小正周期为.
故答案为.
13. 函数的最小值为_______________
【正确答案】
【详解】试题分析：由，原函数可化为，所以当时，函数取得最小值，有．
考点：三角函数最值.
14. 已知函数的最小正周期为，，且的图象关于点中心对称，若将的图象向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为__________.
【正确答案】##
【分析】根据周期范围得出范围，再结合对称性得出的值，即可得出的解析式，进而得出函数图象平移后的解析式，即可根据图象关于轴对称，得出，再根据得出实数的最小值.
【详解】，，且，，即，
的图象关于点中心对称，
，且，即，解得，
，取，，
，
将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，
此函数的图象关于轴对称，，解得，
，当时，得.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
15. 已知，.
（1）求，的值；
（2）求，的值.
【正确答案】（1），
（2），
【分析】（1）应用同角三角函数关系即可求解；
（2）应用两角和的正弦公式及二倍角的余弦公式即可求解.
【小问1详解】
∵，，
∴,
∴;
【小问2详解】
,
.
16. 已知函数
（1）求的单调递增区间：
（2）求在上值域；
（3）若函数在上的零点个数为2，求的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）应用整体法及正弦函数的性质求单调增区间；
（2）由题设有，结合正弦函数性质求值域即可；
（3）由，根据正弦函数的性质确定区间单调性及对应值域，结合零点个数确定参数范围.
【小问1详解】
由正弦函数的性质知，则，
所以的单调递增区间为；
【小问2详解】
由题意，令，由正弦函数性质有，所以；
【小问3详解】
在上，且在上单调递增，在上单调递减，
所以，在上对应，在上对应，
要使函数在上的零点个数为2，则.
17. 函数的部分图象如图所示，

（1）求函数的解析式;
（2）将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，
（i）求函数在区间的值域；
（ii）求满足不等式解集.
【正确答案】（1）
（2）（i）；（ii），
【分析】（1）根据最大最小值，确定的值；再根据函数的周期求出，代入点，结合的取值范围确定的值，即可得函数的解析式.
（2）（i）先根据函数的图象变换确定的解析式，再结合正弦函数图象求在给定区间上的值域.
（ii）数形结合，解三角不等式.
【小问1详解】
由题意：， ，所以.
由.
由，且，得.
所以.
【小问2详解】
（i）将函数的图象向左平移个单位长度，可得，
再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，可得.
当时，，所以.
所以函数在区间的值域为.
（ii）由，所以，.
所以不等式的解集为：，
18. 已知函数（）.
（1）求函数的最小正周期及在区间上的单调区间；
（2）若，，求的值.
【正确答案】（1）最小正周期是，增区间是，减区间是；（2）．
【分析】（1）应用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求解；
（2）由（1）求得，再求出，然后用两角差的余弦公式求解．
【详解】（1），
所以最小正周期为，
时，，由，得，
由得，
所以的增区间是，减区间是；
（2）由（1）得，即，
因为，所以，所以，
所以
本题考查求三角函数的周期与单调区间，考查两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角间的三角函数关系．解题关键是把三角函数化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解．
19. 受日月引力影响，海水会发生涨退潮现象．通常情况下，船在涨潮时驶进港口，退潮时离开港口．某港口在某季节每天港口水位的深度（米）是时间（，单位：小时，表示0：00—零时）的函数，其函数关系式为．已知一天中该港口水位的深度变化有如下规律：出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，最高水位的深度为12米，最低水位的深度为6米，每天13：00时港口水位的深度恰为10．5米．
（1）试求函数的表达式；
（2）某货船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，安全条例规定船舶航行时船底与海底的距离不小于3．5米是安全的，问该船在当天的什么时间段能够安全进港？若该船欲于当天安全离港，则它最迟应在当天几点以前离开港口？
【正确答案】(1);(2)17
【详解】试题分析：（1）最高水位为A+K，最低水位为-A+K，联立方程组求得A和K的值，再由出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，可知周期为12，由此求得ω值，再结合每天13：00时港口水位的深度恰为10．5米，把点（13，10．5）代入y=Asin（ωx+φ）+K的解析式求得φ，则函数y=f（t）的表达式可求；（2）直接由（1）中求得的函数表达式大于等于7+3．5求解t的范围，则答案可求．
试题解析：（1）依题意，，∴，，又，∴，∴，又，∴，∴；
（2）令得，∴，∴
∵，∴或，∴该船当天安全进港的时间为1～5点和13～17点，最迟应在当天的17点以前离开港口．
考点：y=Asin（ωx+φ）函数的图象和性质．