江西省高安市2024-2025学年高二下学期4月期中数学检测试题（附答案）

这是一份江西省高安市2024-2025学年高二下学期4月期中数学检测试题（附答案），共14页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知数列，满足，若，则，下列导数运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第40项是（ ）
A．B．C．11D．5
2．设函数在处可导，且，则等于
A．B．C．D．
3．已知数列，满足，若，则（ ）
A．2B．C．D．
4．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．2D．
5．用数学归纳法证明等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（ ）
A．增加了项 B．增加了项
C．增加了项 D．以上均不对
6．已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ）

A．B．
C．D．
7．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝( )
A．3×44B．3×44＋1
C．44D．44＋1
8．已知函数有2个实数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论错误的是（ ）
A．数列是递减数列B．
C．当取得最大值时，D．
11．若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．已知函数，则= .
13．等比数列的前项和为，若，则 .
14．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．设等差数列的前项和为，，
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值．
16．已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值．
(2)若对恒成立，求实数的取值范围．
17．在递增的等比数列中，，且是和的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
18．已知数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，记数列的前n项和为，求。
19．已知函数，，为函数的导函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若任意，恒成立，求a的取值范围．答案
1．C
【分析】利用观察法求出数列的通项公式，进而求出第40项.
【详解】依题意，所给数列的通项公式为，
所以该数列的第40项.
故选：C
2．C
【详解】因，故-3，由导数的定义可得，所以，应选答案C．
3．C
【分析】计算出的前4项，得到的周期，从而得到答案.
【详解】，，，，……，
故为周期数列，一个周期为3，
故.
故选：C
4．B
【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参.
【详解】因为曲线，所以
所以在点处的切线斜率为，
直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以.
故选：B.
5．C
【分析】依题意，由递推到时，不等式左边为，与时不等式的左边比较即可得到答案．
【详解】用数学归纳法证明等式的过程中，
假设时不等式成立，左边，
则当时，左边，
所以由递推到时不等式左边增加了：
．
故选：C．
6．B
【分析】根据 的正负分情况讨论，再结合函数图象判断 的正负，进而求解不等式.
【详解】1. 当 时，此时不等式 等价于 .
从函数图象可知，当，函数单调递增时.观察图象， 在 上单调递增，即此时当 时，满足题意.
2. 当 时，此时不等式 等价于 .
由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象， 在 上单调递减，即此时当 时，，满足题意.
综上，不等式 的解集是 ，
故选：B.
7．A
【详解】解：由an+1 =3Sn，得到an=3Sn-1（n≥2），
两式相减得：an+1-an=3（Sn-Sn-1）=3an，
则an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，
得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，
所以an=a2qn-2=3×4n-2（n≥2）
则a6=3×44，选A
8．B
【分析】求得，求得函数的单调性得到，转化为函数和的图象有2个公共点，结合图象，即可求解.
【详解】由题意， ，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
当时，可得，
当
所以函数的图象如图所示，函数和的图象有2个公共点，
结合图象可得实数的取值范围.
故选：B.
9．AC
【分析】根据导数运算法则及复合函数导数的求法逐项判断可得结果.
【详解】令，，
因为，，所以，故A正确；
因为为常数，所以，故B错误；
令，，
因为，，所以，故C正确；
因为，所以，故D错误.
故选：AC.
10．BC
【分析】由等差数列的求和公式结合已知条件可得，从而得且，进而可判断ABC，对于D，作差判断即可
【详解】，所以，
，
所以，所以且，
所以数列是递减数列，且当时，取得最大值．故A正确，BC错误．
因为，所以，故D正确．
故选：BC．
11．CD
【分析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到的单调性和极值，将函数在区间内有最小值，转化成，令，列出等式求解即可．
【详解】已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值，
若函数在区间内有最小值，
此时，解得，
当，即时，
整理得，解得或，
所以，
综上，满足条件的取值范围为，．
故选：CD．
12．
【分析】首先求函数的导数，并求，再根据函数的解析式，即可求解.
【详解】，
则，得，
所以，
故.
故
13．28
【分析】由题可知的公比不为，故成等比数列，列式即可求出答案.
【详解】由题可知的公比不为，故成等比数列，
所以，因为，解得，
故28
14．
【分析】由有两个极值点可得有两个不同的实数根，令，用导数研究的图像即可求解
【详解】由题意，有两根，且两根的两边导函数值异号，
又，令，则有两个不同的实数根，
令，则，
令有，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.
且当时，当时，且，，
故作出图象.
可得当有两根时
故
15．(1)
(2)
【分析】（1）分别选①②③，根据等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得的值，进而求得数列的通项公式；
（2）由，，利用等差数列的求和公式，化简得到，结合二次函数的性质，即可得到答案.
【详解】（1）解：选①，设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，解得，，
所以数列的通项公式为.
选②，设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，解得，，
所以数列的通项公式为.
选③，设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，解得，，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由，，所以，
所以当时，取得最大值为．
16．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的增区间和减区间，即求得函数的极大值和极小值；
（2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）因为，则，
令，可得或，列表如下：
所以，函数的增区间为、，减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
（2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，
故当时，，
因为对恒成立，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求出，结合可得公比，由此计算可得数列的通项公式.
（2）利用分组求和法可得.
【详解】（1）∵是和的等差中项，∴，
∵，∴，解得，故.
设等比数列的公比为，则，解得或（舍），
∴，
∴.
（2）由（1）得，
∴
.
18．(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）等式两边同时除以可得；
（2）（ii）由错位相减法求和即可；
（ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可.
【详解】（1）因为，即，
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列.
（2）（i）由（1）知，
所以，
所以，
所以，
，
所以
，
所以.
（ii）因为，
所以，
令，
不妨设的第项取得最大值，
所以，解得，
所以的最大值为，
所以，即m的取值范围是.
19．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先对参数进行分类讨论，再利用导数求解单调性即可.
（2）利用分离参数法得到，再利用导数得到，最后得到参数范围即可.
【详解】（1）因为，且定义域为，
所以，令，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，得到，令，得到，
故函数在上单调递减，在上单调递增；
综上：当时，在上单调递增；
当时在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）得，
因为对于任意，恒成立，
所以恒成立，
化简得恒成立，故恒成立，
令，则恒成立，，
令，则，
得到在单调递增，即
故，在单调递增，而，
即，故.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
B
C
B
A
B
AC
BC
题号
11









答案
CD









增
极大值
减
极小值
增