安徽省六安市2024-2025学年高二下学期4月月考数学检测试题（含答案）

这是一份安徽省六安市2024-2025学年高二下学期4月月考数学检测试题（含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试内容：选择性必修一：第一至三章
一、单选题（每题5分共40分）
1．椭圆的长轴长、短轴长和焦点坐标依次为（ ）．
A．，， B．，，
C．，，D．，，
2．若向量与向量共线，则（ ）
A．B．C．D．1
3．已知圆的方程是，则点（ ）
A．在圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外
4．已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2B．C．2或D．2或
5．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，焦点在轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为

A．B．C．D．
7．设、分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若，且的最小内角为30°，则以下说法中错误的是（ ）．
A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线方程为
C．D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点
8．在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题：
①异面直线与所成的角是定值； ②三棱锥的体积是定值；
③直线与平面所成的角是定值．
其中真命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1D．0
二、多选题（每题6分，多选或答错不得分，部分对答部分分共18分）
9．已知直线：和直线：平行，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
A．3B．C．D．
11．如图所示，设，分别是正方体的棱上的两点，且，，其中正确的说法为（ ）
A．三棱锥的体积为定值B．异面直线与所成的角的大小为45°
C．平面D．直线与平面所成的角的大小为40°
三、填空题（每题5分共15分）
12．若直线与圆相切，则m的值为：-----------------
13．点到双曲线渐近线的距离是---------------------．
14．已知圆与轴的交点分别为双曲线的顶点和焦点，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的取值范围为--------------------------------.
四、解答题
15（第一小题6分，第二小题7分共13分）．已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．
(1)判断点P是否在圆上，并证明你的结论；
(2)若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．
16（第一小题7分，第二小题8分共15分）．（1）若抛物线的焦点在直线上，求此抛物线的标准方程；
（2）若双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求此双曲线的标准方程.
17（第一小题7分，第二小题8分共15分）．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，动圆M与直线相切且与圆F外切．
（1）记圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（2）已知，曲线C上一点P满足，求的大小．
18（第一小题4分，第二小题6分，第三小题7分共17分）．如图，四棱锥中，平面，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19（第一小题4分，第二小题6分，第三小题7分共17分）．已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，若为直角三角形，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率互为相反数的两条直线与分别交椭圆于两点，
①求证：通过点的直线的斜率为定值，并求出该定值；
②求的最大值.答案
1．A
【分析】根据椭圆中长轴长、短轴长和焦点坐标的定义可答案.
【详解】在椭圆中，
所以椭圆的长轴长为 、短轴长为，焦点坐标为
故选：A
2．B
根据向量共线直接求解.
【详解】因为向量与向量共线，
所以，
解得，
所以，
故选：B
3．C
【分析】把点的坐标代入圆标准方程，由与的大小关系判断．
【详解】因为，所以点P在圆内．
故选：C．
4．D
【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解.
【详解】（1）若在的同侧，
则，所以，，
（2）若在的异侧，
则的中点在直线上，
所以解得,
故选:D.
5．B
【分析】先由直线方程得到直线斜率，确定斜率的范围，再由斜率的定义，即可得出倾斜角的范围.
【详解】设为直线的倾斜角，当时，直线的斜率不存在，直线的倾斜角，
当时，直线的斜率＝，
所以直线的倾斜角的取值范围是.
综上所述，.
故选：B.
6．D
【分析】运用椭圆的基本性质结合圆的相切知识进行求解，得到椭圆的离心率
【详解】由椭圆定义可得，即，因为，所以，即，又，故，也即，由于，故椭圆的离心率为，应选答案D．

7．C
【分析】A.首先根据三边的关系，判断出，再根据余弦定理求离心率；
B.根据离心率，直接求渐近线方程；
C.首先由边的关系，判断出，再判断与是否相等；
D.联立直线与双曲线方程，根据的正负，即可判断.
【详解】因为，，所以，．
又因为且，所以，
所以，所以，所以，故A选项正确．
，所以，所以，所以渐近线方程为，故B选项正确．
因为，所以，所以．
又因为，，所以，所以，所以C选项不成立．
因为所以，所以，
所以，
所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，所以D选项正确．
故选：C
8．B
【分析】采用注意验证法，建立空间直角坐标系， 计算可知①正确，利用等积法，根据F点到底面的距离为定值可知②正确，然后用向量方法计算线面角，可知结果.
【详解】以A点为坐标原点，AB，AD，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，可得B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，
(0，0，1)， (1，0，1)， (1，1，1)， (0，1，1)，
设F(t，1，1-t)，（0≤t≤1），
可得=(1，1，1)，=(t-1，1，-t)，可得=0，
故异面直线与所的角是定值，故①正确；
三棱锥的底面面积为定值，且∥，
点F是线段上的一个动点，可得F点到底面的距离为定值，
故三棱锥的体积是定值，故②正确；
可得，，，
可得平面的一个法向量为=（1，1，1），
可得不为定值，故③错误;
故选：B．
本题主要考查空间角的求解及几何体体积的求解，建立直角坐标系，是解题的关键，属中档题.
9．AD
【分析】先求出直线的斜率，直线的斜率，再建立方程求解即可.
【详解】直线：和直线：平行，
直线的斜率为，直线的斜率为，
则，即，解得或．经检验成立
故选：AD
本题考查利用两条直线平行求参数，是基础题
10．AB
分焦点在、轴上讨论，分别求出的值．
【详解】解：由题意知，
当时，，，，
∴，解得；
当时，，，，
∴，解得；
故选：AB．
本题主要考查椭圆的方程、离心率，考查了分类讨论思想，属于基础题．
11．AB
【分析】A选项通过求锥体的体积来判断，B选项通过求线线角来判断，CD选项利用向量法来判断.
【详解】对于A选项，为定值，故A正确；
对于B选项，异面直线与所成的角与直线与的角为同一个角，
即异面直线与所成的角的平面角为，故B正确；
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则.
对于D选项，，平面即平面，
设平面的法向量是，
则即
取，得，所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角的平面角为，
则，
所以，故D错误；
对于C选项，由D选项可知直线与平面所成的角为30°，故C错误.
故选：AB
12．2
【详解】由题可知：
13．
【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，利用点到直线距离公式可求得结果.
【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，即，
点到渐近线的距离.
故答案为.
14．
【分析】根据题意求出双曲线方程，令，根据双曲线定义可得：，然后利用函数的单调性即可求出结果.
【详解】因为与轴交点的坐标分别为，，
由题意可知：，，
因为为右支上任意一点，根据双曲线的定义有，
即，令，则，
因为在上为增函数，所以，
所以，所以，即.
故答案为.
15．(1)点P不在圆上，证明见解析
(2)x＝0或3x＋4y－8＝0．
【分析】(1)将点的坐标导入圆的方程与1比较大小即可.
(2)已知弦长，求直线方程，求出圆心到直线的距离，用垂径定理，解直角三角形即可，特别要注意斜率不为0的情况.
【详解】（1）点P不在圆上．
证明如下：
∵，
∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；
（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，
综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．
16．（1）或；（2）.
（1）解出直线与坐标轴的交点坐标，根据焦点坐标设出抛物线的方程，即可求出；
（2）写出椭圆的焦点坐标，根据焦点坐标设出双曲线的方程，再结合渐近线方程即可求出.
【详解】解：（1）直线与坐标轴的交点为，
①若焦点为，则抛物线开口向右，设方程为，
由，得：，
故方程为：；
②若焦点为，则抛物线开口向下，设方程为，
由，得：，
故方程为：；
抛物线的标准方程为或；
（2），
，
椭圆的焦点坐标为：，
即双曲线的焦点为：，
设双曲线的方程为，则，
渐近线方程为，可得：，
解得，，
故双曲线的方程为.
17．（1）；（2）．
（1）方法一，利用直线与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系，转化为抛物线的定义求曲线方程；方法二，利用等量关系，直接建立关于的方程；（2）方法一，利用条件求点的坐标，再求；方法二，利用抛物线的定义，转化为点到准线的距离，利用几何关系求的大小.
【详解】解：（1）设，圆M的半径为r．
由题意知，，M到直线l的距离为r．
方法一：
点M到点的距离等于M到定直线的距离，
根据抛物线的定义知，曲线C是以为焦点，为准线的抛物线．
故曲线C的方程为．
方法二：
因为，，，
所以，化简得，
故曲线C的方程为．
（2）方法一：设，由，
得，
又，解得，故，
所以，从而．
方法二：过点P向直线作垂线，垂足为Q．
由抛物线定义知，，所以，
在中，因为，
所以，
从而，故．
方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：
1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程.
2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.
3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，．
【分析】（1）在平面内找一条直线与平行即可；
（2）建系，利用空间向量和数量积公式即可求解二面角的余弦值；
（3）根据设点，根据点到平面的距离列出方程，方程存在上的解则存在点，反之则不存在.
【详解】（1）
取的中点，连接，因为是的中点，所以．
又因为，所以，
所以四边形是平行四边形，所以．
又因为平面平面，
所以平面．
（2）
由题意：平面，且，则两两垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系，
又因为，是的中点，所以点的坐标为，，，，
所以平面的法向量为，设平面的法向量为，
，由，
可得，令，则，
所以．
所以，平面与平面所成二面角的余弦值为．
（3）设，且，，则，
设平面的法向量为，
则，可得，
令，所以．
因为点到平面的距离为，
所以，解得，
所以存在点，使得点到平面的距离为，此时．
19．(1)
(2)①证明见解析，定值为1；②4.
【分析】（1）根据三角形边长关系以及椭圆上的点坐标求出，从而得到椭圆方程；
（2）①根据题意设直线与的方程，分别与椭圆方程联立求得点的坐标，再根据斜率公式计算即可得到定值；②利用两点间距离公式，结合基本不等式求最值.
【详解】（1）由题意，则是等腰直角三角形，即得，从而.
又椭圆过点则有解得.
椭圆的方程.
（2）
①由（1）知椭圆的方程为，设直线的方程：，则的方程是.
令，
由可得
则有
，
同理得，
.
即直线的斜率为定值，且定值为1.
②由①知，
则
又，当且仅当即当时等号成立，
所以，即的最大值为4.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
D
B
D
C
B
AD
AB
题号
11
答案
AB