天津市河北区2025届高三下学期总复习质量检测（一）数题数学试卷（解析版）

这是一份天津市河北区2025届高三下学期总复习质量检测（一）数题数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图知阴影部分表示的集合是,
因，，
则，故.
故选：D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为函数在定义域上单调递增，所以由得，
因为函数在定义域上单调递增，所以由得，
若成立，则不一定成立，充分性不成立，
若成立，则一定成立，必要性成立，
即“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，且定义域为R，
所以为奇函数，排除A、B；
，排除D.
故选：C
4. 已知表示变量x与y之间的相关系数，表示变量u与v之间的相关系数，且，，则（ ）
A. 变量x与y之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性
B. 变量x与y之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性
C. 变量u与v之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性
D. 变量u与v之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性
【答案】C
【解析】因为线性相关系数，，
所以变量x与y之间呈正相关关系，变量u与v之间呈负相关关系．
因为|r|越接近1，两个变量的线性相关程度越高，所以x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性．
故选：C．
5. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
，
，
所以.
故选：D.
6. 若，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，则
C. 若，，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】A：若，，则或，而，故，对；
B：若，将视作的法向量所在直线，又，易知，对；
C：若，，则，而，故，对；
D：若，，则平行、异面、相交都有可能，错.
故选：D
7. 已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线交双曲线的两条渐近线于两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知，渐近线方程，则两条渐近线倾斜角分别为和；
直线的倾斜角为，且经过右焦点，所以该直线与其中一条渐近线垂直．
令，易得，则.
故选：A；
8. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列结论：
①； ②当时，；
③函数的单调递减区间为，；
④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】由图象可知：，.
由，又，所以.
所以.
因为，故①正确；
当时，，所以，所以，故②正确；
由，，，
所以函数的单调递减区间为，.故③正确；
将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误.
故选：C
9. 在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，延长与相交于点， 反向延长线交于点，连接交于点，连接，得到截面，由题意得，
在各棱长均为1的正三棱柱中，，
因为，，，，，
所以，
即，
所以，
所以.
故选：B.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.
10. 已知为虚数单位，则复数________.
【答案】
【解析】.
故答案为：
11. 在的展开式中，项的系数为__________.（用数字作答）
【答案】80
【解析】展开项的通项公式为，
令，解得，所以，
所以项的系数为80.
故答案为：80
12. 在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为______.
【答案】
【解析】直线：过定点，
圆：，圆心，半径
因为点在圆内，由圆的几何性质可知，当直线时，
弦长最短为，
故答案为：.
13. 第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为________；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为________.
【答案】①. ②.
【解析】由题意，某顾客两次抽奖都中奖的概率为，
设顾客第一次抽奖没有中奖为事件，第二次抽奖中奖为事件，
则，，
，
该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为.
故答案为：，.
14. 如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上.若，，则用和表示________；若，则的最小值为_________.
【答案】①. ②.
【解析】由，，则，，
由，
若且，，则，
所以，，
所以
，而，，
所以的最小值为.
故答案为：；
15. 若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________.
【答案】
【解析】令有且仅有一个根，且，
所以，在上有且仅有一个根，
当，则，
令且，则，
所以在上单调递增，
趋向于0时，，趋向于1时，，
所以；
当，则，
令在上单调递减，且，趋向于时，，
所以；
综上，.
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在中，内角，，的对边分别为，，，，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若的面积为，求的值.
解：（1）因，所以，而，
，，
；
（2）由（1），，
；
（3）由（1），则，又，则，
又，则.
17. 如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面，，，.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
解：（1）由侧面为矩形，得，
又平面，，平面，
则，，
即直线，，两两垂直.
建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，，，
，，.

设平面的法向量为
则，令，得，
设直线与平面所成的角为
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（2），
设平面的法向量为
则，令，得，
设平面与平面的夹角为
则
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
（3）由（1）（2）可知，平面的法向量为，
点到平面的距离.
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，且右顶点和上顶点都在直线上.
（1）求方程；
（2）若直线经过交椭圆于、两点，求面积的最大值；
（3）若过点的直线交于、两点，点是线段上异于、的一点，且，证明：
解：（1）在直线方程中，令，得，即上顶点，则，
令，得，即，则，所以的方程为.
（2）若直线与轴重合，则直线经过点，不合乎题意，
设直线的方程为，
联立得，
，
设点、，由韦达定理可得，，
所以，，
于是，
令，令，其中，
由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，
当时，即当时，取最小值，
此时，的面积取最大值，且其最大值为.
（3）当直线的斜率为时，不妨记、，
而，由，得，
则，因此；
当直线的斜率不为时，设、、，
设直线的方程为，
由消去得，
则，，
由韦达定理可得，，
如图，由，得点在线段的垂直平分线上，即，
显然，设，即，
于是，
由点直线上，得，
则，整理得，
于是，因此，，
所以.
19. 在数列中，按照下面方式构成：，，，其中表示数列中最大的项.
（1）若数列的前4项分别为，求数列的前4项；
（2）若满足，且.
①求的值；
②求的前项和.
解：（1）因为数列的前4项分别为，
则，
所以的前4项分别为
（2）因为，即，
且，可知数列是以首项和公比均为的等比数列，
则，所以.
①当为奇数时，；
当为偶数时，，可知数列为递增数列，
可知，
所以；
②当时，；
当时，，
（i）当为奇数时，
，
令，
作差得
，
所以；
经检验也满足上式，所以；
（ii）当为偶数时，；
综上所述：.
20. 已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）．
①求实数的值；
②求证：．
解：（1）函数的定义域为，
因为，令，得：，令，得：，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）①由（1）知：．由，
又，所以切点，
由（1）可知，切点在直线的上方，
所以，整理得，
设，则，
（也可构造）
设，则在上恒成立．
所以在单调递增．
又，又，方程只有1解：．
②依题意：要证，
当时，，令，
在上单调递增
，所以不等式成立；
当时，要证，即．
设，则．
设．则．
当时，，所以．
所以在上单调递减．
所以，即．
所以在上单调递减，，
即当时，成立．
综上：当时，在上恒成立．