湖北省鄂东新领先协作体2025届高三下学期2月联考数学试卷（解析版）

这是一份湖北省鄂东新领先协作体2025届高三下学期2月联考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则B可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，
当时，或，故A错误；
当时，或，故B错误；
当时，，故C正确；
当时，，故D错误；
故选：C.
2. 若双曲线的焦距为6，则（ ）
A. 5B. 3C. D.
【答案】D
【解析】若双曲线的焦点在轴上，
依题意可得，解得；
若双曲线的焦点在轴上，
依题意可得，解得.
综上可得：.
故选：D.
3. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由不等式，化简得，
由余弦函数的性质得.
故选：C.
4. 小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（ ）
A. 0.48B. 0.49C. 0.52D. 0.21
【答案】A
【解析】由全概率公式可得，小孟一家去游乐园的概率为，
故选：A.
5. 已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由奇偶性判断可知：
是偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数，
而函数图象是关于轴对称，必然是偶函数，所以BD错误；
再当时，可知，故A错误；
所以C正确，
故选：C.
6. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为
，
所以，
又由可知，，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
7. 甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由5个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这组数据一定都小于12的是（ ）
A. 甲：中位数为9，众数为11B. 乙：中位数为9，极差为3
C. 丙：平均数为8，极差为4D. 丁：平均数为8，方差为3
【答案】B
【解析】对于A，中位数为9，众数为11，说明11至少有两个数，不妨取两个11，
则由中位数可知另外两个数肯定不超过9，故A能判断这组数据都小于12，所以不能选A；
对于B，中位数为9，极差为3，由于极差是5个数中最大与最小的差，
由于该组数据由5个整数组成，所以不妨取4个9，1个12，这样不能判断该组数据一定小于12，故选B；
对于C，平均数为，极差为，由于个数都是整数，根据条件可知，这个数中肯定最大数与最小数的差为，则可知最大数肯定大于，最小数肯定小于，故最小数加得最大数肯定小于，从而能判断这组数据一定都小于12，故不能选C；
对于D，平均数为8，方差为3，由方差公式可得，
若存在数12，则
，这与方差为3相矛盾，所以最大数也一定小于12，故不能选D；
故选：B.
8. 若正六棱锥的体积为，则PA的最小值为（ ）
A. B. 3C. 4D.
【答案】A
【解析】设正六棱锥的底面边长与高分别为,
底面为正六边形，设底面的中心为，连接，
则，底面，为正六棱锥的高，
所以，
因为正六棱锥的体积为，所以，即，
则，
因为，
当且仅当，即时取最小值，
则 的最小值为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知a，，，.下列结论正确的是（ ）
A. 若，则不是纯虚数
B. 若，则的实部等于虚部
C. 若，则的最小值为
D. 若，则
【答案】BC
【解析】对于AB，由，则，可得，解得，
所以，显然是纯虚数，故A错误，B正确；
对于CD，由，则，可得，
所以，
且，故C正确，D错误.
故选：BC.
10. 已知定义域为的函数满足，且.则（ ）
A. B. C. D. 可能为增函数
【答案】ABD
【解析】因为，，
所以令，可得，故A正确；
再令，可得，又因为，
所以，
又令，可得，所以，故B正确；
不妨取，则，
，
此时满足原恒等式，但是当时，，故C错误；
但由于此时在上是增函数，故D正确；
故选：ABD.
11. 已知A，B，C是抛物线上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为，则（ ）
A. 当时，的最大值为32
B. 当时，的最小值为22
C. 当时，直线AB的斜率为
D. 当时，点P到直线l的距离的最小值为14
【答案】ACD
【解析】
对于A，如图设直线的方程为，代入可得：，
由可得，
设，则，
因的中点为，则，故，
，即，则，
于是
，
故当时，取得最大值为32，故A正确；
对于B，如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为，
设交抛物线于点，因，故，
由图知当且仅当三点共线时取得最小值为长，
因的中点为，则为梯形的中位线，且，
故此时，即的最小值为15，故B错误；
对于C，由A项得到，因，故得，
解得，故直线的斜率为，故C正确；
对于D，由可得直线经过点，可设直线的方程为，
代入可得：，设，则，
仿照B项作图，则点P到直线l的距离为：
，
故当时，点P到直线l的距离的最小值为14，即D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，，，，则______.
【答案】
【解析】由三角形正弦定理可得：，
再由，联立上两式可解得：，
再由余弦定理得：，
所以，
故答案为：.
13. 在正方体的底面ABCD所在平面中，以点A为圆心，1为半径的圆与以点C为圆心，3为半径的圆外切，则该正方体外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】
由题意可知：，
即正方体边长为，正方体的体对角线为，
而正方体外接球的直径为体对角线，即正方体外接球半径为，
所以外接球的表面积为，
故答案为：.
14. 函数的最小值为______，此时______.
【答案】①. ②.
【解析】由
所以可知当，即时，函数取到最小值，
故答案为：①；②.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队.
（1）若小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率；
（2）设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.
解：（1）由题意可得从人中选出人组成一队，总的情况数为，
选中小张之后，医疗救援剩下的人从总人数剩下的人中选出，情况数为，
所以小张被选人医疗救援队的概率.
（2）的可能取值为，
则，，，
，，
所以的分布列如下表：
所以数学期望.
16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，M是的中点.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面.
（3）求平面与平面的夹角.
（1）证明：连接交于，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，且平面，不在平面内，
所以平面；
（2）证明：因为平面，且四边形为矩形，所以两两垂直，
故以为坐标原点，以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
又因为，，，
所以，
设平面的法向量为，且，
则，故，取，则，
因为，所以，所以，所以平面.
（3）解：设平面的法向量为，且，
则，故，取，则，
设平面与平面的夹角为，
则，因此平面与平面的夹角为.
17. 已知数列是等差数列，且，.
（1）求的通项公式.
（2）试问有多少项为整数？
（3）求数列的前n项和.
解：（1）数列是等差数列，且，，
所以，设等差数列公差为，
所以，
所以，
所以，
所以.
（2）因为，
当为整数时，则为整数，所以，所以有5项为整数；
（3）因为，所以，
数列的前n项和.
设，
于是，
两式相减得，
所以，
所以
18. 已知椭圆的短轴长为，且离心率为.
（1）求C的方程.
（2）过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点.
①证明：为定值.
②求面积的取值范围.
解：（1）由已知得，
因为，又由，
可解得，
所以椭圆方程为：.
（2）①设斜率不为0的直线的方程为，
联立直线和椭圆方程可得，化简得，
由于椭圆与直线交于两点，，
因此，所以或，
根据韦达定理可得，，
又因为，，
因此，
令的方程为，椭圆与直线交于两点，
联立直线和椭圆方程，化简得，
同理：，，
，
因此（为定值）．
②由于，又由于，
因此，
化简可得，设，由于，因此，
因此，
又由于当时，，因此，
因此，
所以面积的取值范围为．
19. 定义：，是函数的两个极值点，若，则称为“M函数”.
（1）若为“M函数”，求m的取值范围.
（2）已知函数有两个极值点.
①求a的取值范围；
②证明：为“M函数”.
解：（1）由，求导可得，令，解得，
由函数为“函数”，则，
可得，解得.
（2）①由，则，求导可得，令，
由题意可得函数存在两个不同的变号零点，则，
令，解得，当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，所以，
由，令，
求导可得，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，则，
由，则当时，函数存在两个不同的变号零点，
可得，解得.
②由①可得，易知方程存在两个不相等的实数根，
设为，由①不妨设，
令，
求导可得，由，当且仅当时取等号，则，
所以函数在上单调递增，由，则当时，可得，
由，且函数上单调递减，则，可得；
由当时，，则函数在上单调递减，
由，则，所以，
要证，只需证，
由，则令，
求导可得，令，则，
所以函数在上单调递增，则当时，，即，
所以函数在上单调递增，则当时，，
所以不等式在上恒成立，可得，
综上所述，，所以函数为“函数”.