湖北省“高中名校联盟·圆创教育”2025届高三第三次联合测评数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省“高中名校联盟·圆创教育”2025届高三第三次联合测评数学试卷（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，利用复数的运算法则，得到 ，再利用共轭复数的定义，即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
故选：C.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集、补集的运算即可求解；
【详解】解：因为集合 ，
所以 或 ，
又 ，
.
故选：C
3. 已知等差数列 的前 n 项和为 若 ， ，则 为（ ）
A. 88 B. 77 C. 66 D. 55
【答案】B
【解析】
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【分析】利用等差数列的前 项和公式及等差数列的性质即可求解.
【详解】由等差数列的性质可得： ，
则由等差数列前 项和公式可得：
故选：B.
4. 已知 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用平方关系，即可求解.
【详解】由 ， ，
可得
，
故选：B.
5. 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由导数的四则运算及赋值即可求解.
【详解】解： ，
则 ，
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故选：A
6. 在测量降雨量的实践活动中，某小组利用现有仪器，将一个玻璃漏斗固定在一个较大的锥形瓶上，漏斗
的下端伸进锥形瓶内，下雨时将其置于室外收集雨水．如图所示，已知锥形瓶的底部直径为 ，瓶口
直径为 ，玻璃漏斗口直径为 ，收集完毕后测得水面距瓶底 ，水面直径 ，则平
地降雨量大约为（ ） 注：平地降雨量等于收集到的雨水体积与收集雨水玻璃漏斗口的面积之比
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用圆台的体积公式，求出收集到的雨水体积，再求出收集雨水的玻璃漏斗口面积，
即可求解.
【详解】设收集到的雨水体积为 ，收集雨水的面积为 ，
则 ，
，
故平地降雨量为 ，
故选：D.
7. 已知一个等比数列的前 项，前 项，前 项的和分别为 ， ， ，则下列等式中正确的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】ABC 通过反例即可判断，D 通过等比数列求和公式可判断.
【详解】解：前三个选项举反例，令 ，等比数列为 1，2，4，则 ， ，
对于 A， ，故 A 错误；
对于 B， ， ，故 B 错误；
对于 C， ，故 C 错误；
对于 D，因为 ， ，
，故 D 正确．
故选：D
8. 过抛物线 上的一点 作切线 ，设 与 轴相交于点 为 的焦点，直线 交 于另一
点 ，则 面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，根据条件得到 ，从而得到 ，构造函数
，利用导数与函数单调性间的关系，求出 的最小值，即可求解.
【详解】设 ，由抛物线的对称性，不妨设 ，设直线 ，
由 ，消 得 ，
因直线 与抛物线相切，得到 ，得到 ，
故直线 的方程为 ，
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令 ，得点 M 的坐标为 ，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，所以有 ，于是 ，
则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，得到 在区间 单调递减；当 时， ，得到
在区间 上单调递增，
故 ，
所以 的最小值为
故选：C.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，设 ，根据条件得到
，再构造函数 ，求出 的最值，即可求解.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的有（ ）
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A. 若样本数据 ， ， ， 的平均数为 ，则数据 ， ， ， ， 的平均数为
B. 若随机变量 ，且 ，则
C. 若随机变量 ，则
D. 若随机变量 ，设 ，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据平均数的计算公式判断 A，根据正态分布曲线的性质判断 B，根据二项分布均值和方差的计算
公式和方差的性质判断 CD.
【详解】若样本数据 ， ， ， 的平均数为 ，则 ，
所以数据 ， ， ， ， 的平均数为 ，A 正确；
若随机变量 ，则正态分布曲线关于直线 对称，
因为 ，所以 ，B 正确；
若随机变量 ，则 ，C 错误；
若随机变量 ， ，
又 ，则 ，D 错误．
故选：AB
10. 已知点 为 所在平面内一点，则（ ）
A 若 ，则
B. 若 ，且 ，则 为等边三角形
C. 若 ， ，则
D. 若 ，且 ，则 的面积是 面积的
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【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，利用向量的线性质运算，可得 ，即可求解；对于 B，利用数量积的定义及数
量积的运算，可得 ，从而得到 ，再利用可得 ，即可求解；对于 C，根据条件可得
， ，进而有 M 为 的垂心，即可求解；对于 D，根据条件，可得
，令 ，从而可得 Q 点在直线 BC 上，再利用比值，即可求解.
【详解】对于选项 A，因为 ，所以 ，
所以 ，故选项 A 错误，
对于选项 B，因为
，
所以 ，又 ， 在区间 上单调递减，则 ，
又 ，则 ，所以 为等边三角形，故选项 B 正确，
对于选项 C，若 ， ，则 ， ，
故点 M 为 的垂心，所以 ，则 ，故选项 C 正确，
对选项 D，由于 ，而 ，所以 ，其中 ，
不妨设 ，则 Q 点在直线 BC 上，
由于 与 同底，而高线之比等于 MQ 与 AQ 的比，即比值为 ，
所以 的面积是 面积的 ，故选项 D 正确，
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故选：BCD.
11. 已知函数 ，则（ ）
A.
B. 在区间 上单调递增
C. 若 在区间 上恰有一个极值点，则 的取值范围是
D. 若 在区间 内没有零点，则 取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，由二倍角公式及辅助角公式可判断，对于 B，由 ，确定 的范围即可判
断，对于 C，通过 ，确定 的范围，再结合恰有一个极值点得到 即可判
断，对于 D，先确定 的范围，再由 和
两类讨论即可.
【详解】解： ，A 正确；
因为 ，所以 ，
所以 在区间 上单调递增，B 正确；
因为 ，所以 ，
因为 在区间 上恰有一个极值点，
所以 ，
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所以 ，C 错误；
，
函数 在区间 内没有零点，
，
则 ，
则 ，取 ，
；
，
则 ，
解得： ，取 ，
；
综上可知： 的取值范围是 ，D 正确．
故选:ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 的展开式中 的系数为__________．
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【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用二项展开式的通项公式，即可求解.
【详解】因为 的展开式的通项为 ，
令 ，得 的系数为 ，
故答案为：
13. 设点 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分
别交于 A、B 两点，设 与 的内切圆半径分别为 、 ，则 的值为__________．
【答案】3
【解析】
【 分 析 】 设 圆 与 三 边 分 别 切 于 点 ， 根 据 圆 的 切 线 性 质 、 双 曲 线 的 定 义 得
，进而确定 、 ，且 ，利用相似比求 .
【详解】由 ，得 ，则 ，
设圆 与 三边分别切于点 ，如图：
由圆的切线的性质可得 ，
由双曲线的定义可知 ，即 ，
设 ，则 ，得 ，所以 ，则 ，
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同理，设圆 与 切于点 P，则 ，故 ，
因为圆心 、 都在 的角平分线上，
所以点 、 、 三点共线，则 ，可得
故答案为：
14. 已知函数 ，若关于 的方程 恰有两个不同的实数根，则
实数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】作出 图象，令 ，得 ，再对 分类讨论，数形结合，利用二次函数根
的分布问题及复合函数根的问题，即可求解.
【详解】作出 图象，如图所示，
令 ，则原方程即为 ，
记方程 的两根为 ， ，可知 ， ，
①当 时， ，
当 时， ，此时方程 恰有两个不同的实数根，满足题意；
当 时， ，此时方程 仅有一个实数根，不满足题意；
②当 时， 或 ，此时 ，不妨设 ，
当 时， ，
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则方程 有三个不同的实数根，方程 有一个实数根，不满足题意；
当 时， ，
此时方程 和 各有一个实数根，且两根不相等，满足题意；
综上可知，实数 k 的取值范围为 ，
故答案为： .
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于作出 的图象，令 ，得 ，先讨论
的根，再结合图象，数形结合，即可求解.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ， ，D 为 BC 边上的点．
（1）若 ，求角 A 的平分线 AD 的长；
（2）求 BC 边上中线 AD 长的最小值．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）应用余弦定理可得 ，再由 及已知列方程求 ；
（2）根据线段的关系及向量加减、数乘的几何意义有 ，整理并应用基本不等式求
最小值.
【小问 1 详解】
因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
由 ，且 是角 A 的平分线，
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所以 ，所以 .
【小问 2 详解】
因为 D 是 BC 的中点，所以 ，
两式平方，并代换得
，当且仅当 时取等号，
所以 AD 长的最小值为 .
16. 如图，AC 是 的直径，PA 垂直于 所在的平面，B，D 是圆周上不同于 A，C 的两点．
（1）求证：平面 平面
（2）若 ， ，直线 CD 与平面 PBC 所成的角的正弦值为 ，求
【答案】（1）证明见解析
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用题目给的几何关系先证明 平面 在证明平面 平面
（2）先结合第一小问建立空间直角坐标系，然后利用待定系数法结合直线 CD 与平面 PBC 所成的角的正弦
值为 建立关于线段 长度的方程，然后再利用
，得到关于线段 长度的另外一个方程，进行求解即可.
【小问 1 详解】
证明： 平面 ABCD， 平面 ABCD， ，
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又 是直径 AC 所对的圆周角， ，
， 平面 PAD， 平面
平面 PCD， 平面 平面
【小问 2 详解】
如图，建立空间直角坐标系 ，
由 ， ， ，得 ，
则 ，
设 ，
得 ， ，
设平面 PBC 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，
得 ，
因为直线 CD 与平面 PBC 所成 角的正弦值为 ，
所以 ，
得 ，
得 ，
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由 ，
得 ，
当 时，代入 式得，
，
即 ，
得 ，此时 ，
则 ，故 ，
当 时，代入 式得，
，
即 ，得 或 ，
当 时，此时 ，
当 时，得 ，则，
故 ，
经检验，当 时，C，D 重合，不符题意
综上知，AD 的长为
17. 已知函数 ，其中
（1）当 时，求曲线 的对称中心；
（2）若函数 在区间 上单调递减，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数的定义域，就可以初步判断对称中心的横坐标，再利用对称性恒等式进行求解，就
可得对称中心的纵坐标，从而可得对称中心；
（2）由函数的单调递减转化为导函数值恒小于或等于 0，再利用二次不等式在区间内恒成立，转化为端点
值成立即可求解.
【小问 1 详解】
当 时， ，定义域为 ，
其定义域关于 对称，
则
，
所以函数 的对称中心是 .
【小问 2 详解】
由 ，
因为 ，所以 ，所以 的定义域为 ，
则 ，
由题可得 在区间 上恒成立，
则 在区间 上恒成立，
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则 ，
解得 ，
故实数 a 的取值范围为：
18. 已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， .椭圆 的
上、下顶点分别记为 ，右顶点为 .
（1）求 的方程；
（2）过上顶点 作直线 与 的延长线交于 ，与椭圆 交于 ，点 关于 轴的对称点为 .延长 交
的延长线于 ，过 作 x 轴的平行线交 的延长线于点 Q，连接 、 .
①记直线 与直线 的斜率分别为 ， ，求 的值；
②证明： .
【答案】（1）
（2）① ；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件，直接求出 ，即可求解；
（2）（i）设直线方程，联立相应直线与椭圆 方程，直接求出 的坐标，即可求解；（ii）根据条件，
利用（i）中结果，可得到四边形 为平行四边形，即可求解.
【小问 1 详解】
由已知， 并且 ，所以 ，于是 ，
所以椭圆 的方程为： .
【小问 2 详解】
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如图所示，由已知直线 的斜率存在并且其斜率 k 满足条件 ，
设其方程为 ，
由 ，解得 或 舍去 ，
所以点 的坐标为 ，从而点 的坐标为 ，
于是直线 的斜率 ， 的方程为
又直线 的方程为： ，由 ，得 ，
由 ，得 ，
因为直线 的方程为： ， 的方程为 ，
由 ，得 ，
（i）因为直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
所以 ；
（ii）由（i）知 ， ，所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，因
此
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19. 记集合 ， ， ，对于 ，
， ，定义 .
（1） ，且 ，记随机变量 ，求
（2）若集合 ，对于 ，且 ，都有 ，请写出一个集合 ，使得集合 中的
元素个数最多，并说明理由；
（3）若集合 ，对于 ，且 ，都有 ，求证：集合 中至多有 个元素．
【答案】（1）
（2） ， 中一共有 个元素，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据集合的定义列举出 中的元素，根据古典概型的概率公式求解即可；
（2）利用反证法，假设 中除了 外还有 个元素，利用集合元素的互异性可知这些元素中
至少含有 个“1”，则一定存在两个元素之中的某一个分量同时为 1，与题设矛盾即可证明；
（3）对于 ，令 ，则由 可知若 ，则
，即可证明结论.
【小问 1 详解】
由题意可 ，
中的元素有 ， ， ， ， ， ， ， ，共 8 个，
从 8 个元素中任选两个元素有 种，
其中向量 和剩下 7 个向量的数量积均为 0，有 7 种情况；
， ， 这 3 个向量中任选两个，它们的数量积均为 0，有 3 种情况；
， ， 这 3 个向量分别和 ， ， 的数量积为 0，有 3 种情况，
则满足 的情况共有 种，
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所以 .
【小问 2 详解】
， 中一共有 个元素，此时 中元素个数是
最多的.
理由如下：
假设 中除了 外还有 个元素，
则根据集合中元素的互异性这些元素中至少含有 个“1”，
所以一定存在两个元素 ， ， ，
这两个向量之中的某一个分量同时为 1，
即存在 ，使得 ，此时 ，与题设矛盾，
故集合 中至多有 个元素．
【小问 3 详解】
对于 ，令 ，
定义 与 是一组“互补向量”，
若 ，则 ，且 ，
所以对于集合 ，若 ，则 ，
因为若 且 ，则 ，
与已知对于 ，且 ，都有 ，矛盾，
而 中元素个数为 个， 与 成对出现，
所以集合 中的元素个数至多为 个，即 .
下面给出一种 的取法：
在每一组“互补向量”中，我们始终取“1”的个数较多的那个向量作为集合 中的元素，这样就能保证对
于 ，且 ，都有 ，
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证明如下：
①若 ， ，则每一组“互补向量”里被选出来的向量都至少含有 个“1”，
可知 中任意两个向量里都至少有一个相同位置含有“1”，符合题意．
②若 ， ，按照前面的选法，选出的“1”的个数大于 的向量与其他组被选出的向量的数量积
都大于 0，所以我们只需要考虑那些恰好含有 个“1”的“互补向量”组．
事实上，每一个恰好含有 个“1”的向量只与自身的“互补向量”的数量积为 0，而与其他的含有 个“1
”的向量的数量积均大于
所以对于由两个恰好含有 个“1”的向量构成的“互补向量”组，我们就从这两个向量中任选一个作为集
合 中的元素，这样的选法仍是选出了 个向量作为 中的元素．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查集合的新定义、集合的表示、元素与集合的关系，对于新定义问题要
充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.
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