山东省济南市2025届高三下学期3月模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省济南市2025届高三下学期3月模拟考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】集合，则，
所以.
故选：B
2. 设复数满足（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
3. 若直线：与直线：平行，则（ ）
A. 4B. C. 1或D. 或4
【答案】D
【解析】若直线：与直线：平行，
则，整理可得，解得或，
若，直线：与直线：平行，符合题意；
若，直线：与直线：平行，符合题意；
综上所述：或.
故选：D.
4. 若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】数列中，，
数列为等比数列，令其公比为，则，，
为常数，因此数列为等差数列；
反之，为等差数列，令其公差为，则，即为常数，
因此数列为等比数列，
所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件.
故选：C
5. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，焦点为，
焦点为，
则焦点为，
故选：B．
6. 已知函数则的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，，，；
当时，，，；
且当时，，
所以为奇函数，
易知为上的递减函数，
则，
所以原不等式的解集为.
故选：A
7. 已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（ ）
A. πB. 2πC. 4πD. 8π
【答案】B
【解析】如图：
设展开图小圆半径和大圆半径分别为，则圆台侧面积，即，
上底面半径，下底面半径，
圆台上下底面面积之差的绝对值为.
故选：B.
8. 已知，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，令，则，
所以在上单调递减，即，
所以，故A错误；
对于B，令，，则，
所以在上单调递增，即，故B错误；
对于C，因为，令时，
，
因为，所以，故C错误；
对于D，令，，则，
当时，，所以；
当时，，，且区间对应每一个值都使得，所以；
当时，，
，且区间对应每一个值都使得，所以；
综上则在上恒成立，所以在上单调递增，
即，故D正确.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（ ）
附：
A. 若，则认为“毛色”和“角”无关
B. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%
C. 若，则认为“毛色”和“角”无关
D. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%
【答案】BC
【解析】对AB，若，因为 ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A 错，B 对；
对CD，若，因为，则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误.
故选：BC.
10. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（ ）
A. B.
C. 内切圆半径的最大值为D. 外接圆半径的最小值为1
【答案】ACD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，由三角形中位线得，因为当点在第二三象限时，，此时，故B错误；
对于C，因为，，
当点在上顶点时，最大，所以，所以，
所以，所以由三角形相似可得，
设内切圆半径为，又，
所以内切圆半径的最大值为，故C正确；
对于D，设外接圆半径为，则由正弦定理可得，故D正确.
故选：ACD
11. 已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】对A，在原式中令，则，故A正确；
对B，若，单调递增，则，则，即矛盾，舍去，故，故B正确；
对C，由得，则，则，
，，原式中令，
令，因为递增数列，C错；
对D，由，令，由单调递增，
，令，令则，
则时，，且，
则时，时，，
当时，时，，
在原式中令，
同理由，D正确，
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为________.（用数字作答）
【答案】
【解析】第一步选2个空给两个1有种选法，
第二步选剩下的3个空给两个3有种选法，
最后剩一个空排5即可，
根据分步乘法计数原理有种排法，
故答案为：.
13. 函数的最小值为________.
【答案】
【解析】当时，即时，
，
当时，即时，
，
所以，
作出函数图像：

所以函数的最小值为，当时.
故答案为：.
14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________.
【答案】
【解析】建立正四面体的顶点坐标，
设四个顶点为，
每条棱长均为，设动点，
，
，
，
，
，
，
因为，
所以，即所有满足条件的点构成的平面为平面（平面），

而为正方体的顶点（如图所示），且该正方体的中心为原点，
由对称性可得棱交于，棱交于，棱交于，棱交于，
截面四边形的顶点为，
在平面上形成一个菨形，其对角线的长度为，故面积为2.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.
（1）求智能客服的回答被采纳的概率；
（2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差.
解：（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”，
依题意，，，
因此，
所以智能客服的回答被采纳的概率为.
（2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，，
，
，
所以的分布列为：
数学期望；.
16. 如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点在线段上.
（1）求证：平面平面；
（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求.
（1）证明：由正方形有，又平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
过点作，则，，，所以，
所以，即，又，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）知两两互相垂直，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图：
则有，设，则，设，
则有，解得，得，
所以，
设平面的法向量为，则有，
令，得，
设直线与平面所成角为，
所以，
解得或，
所以或.
17. 已知双曲线：离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，.
（1）求的方程；
（2）过P作直线的垂线，垂足为N.
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最小值.
解：（1）由题设且，则，
由轴时，，不妨令，代入双曲线得，
所以，则所求方程为；
（2）（i）设，则，由斜率不为0，设，
联立双曲线并整理得，则，
所以，
由，直线，
根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上，
令，则，
因为，所以，
而，则，
所以过定点；

（ii）由，
由（i），，可得，
令，则，
由，故，当时取等号，
综上，的最小值为.
18. 已知，函数，.
（1）当时，求的极值；
（2）若存在零点.
（i）当时，求取值范围；
（ii）求证：.
解：（1）时，，
当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值.
当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增，
函数的极小值是，无极大值.
（2）（ⅰ）当时，因为函数存在零点，故有解，
若，此时无解，所以，有解，，
①若单调递增，此时不存在零点；
②若，令，，，
由零点存在定理可知存在，
所以在上为减函数，在上为增函数，
故，解得，故.
（ⅱ）因为函数存在零点，所以有解，其中，
若，则，该式不成立，故.
故，考虑直线，
表示原点与直线上的动点之间的距离，
，所以，
时，要证，只需证，
即证.
令，则，
令，，故在上为增函数，故.
即在上为增函数，
故，故，即成立.
19. 如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列.

（1）用表示出的外接圆半径；
（2）当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部；
（3）若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围.
解：（1）设的外接圆半径为，由题意知，
，，
又，故.
故的外接圆半径为.
（2）设的外心为，外接圆半径为，的中点为，，
则，，.

注意到的中点也为，故的中垂线与中垂线重合.
由题意知，，均在的中垂线上.
而，
，
故.
另一方面，，
故的外接圆内切于的外接圆.
从而的外接圆各点位于的外接圆上或其内部.①
反复使用结论①可得，的外接圆位于外接圆上或其内部.
故各顶点均在外接圆上或其内部.
（3）若满足题意，则位于在外接圆上或其内部，故.
由（2）知，
，
由题意，，即，解得.
故.
当，同上可得.
由（2）知，，共线，故，即.
故，故的外接圆位于外接圆上或其内部.
故各顶点均在外接圆上或其内部，故的范围为.
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
0
1
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3