山东省齐鲁名校2025届高三第六次联考模拟预测（冲刺二）数学试卷（解析版）

这是一份山东省齐鲁名校2025届高三第六次联考模拟预测（冲刺二）数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数满足，则复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，，则，
即.
故选：C.
2. 已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】，
，
因为A，B，C三点共线，所以设，
即.
故选：B
3. 已知集合，或，且，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以当时满足题意，此时，
当时，要满足题意，则有
综上实数的取值范围为.
故选：A
4. 记为等差数列的前项和，，，则（ ）
A. 58B. 63C. 75D. 84
【答案】D
【解析】由，所以，
又，所以，
设该等差数列的公差为d，则由题意可知，
所以.
故选：D
5. 已知三棱锥内接于半径的球，平面ABC，，，，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设球心为，取线段的中点记为.
因为，，，
所以在中，由余弦定理可得，即.
则有，即是以线段为斜边的直角三角形.
所以点是截面ABC的圆心，半径为
则平面ABC.
又因为平面ABC，且三棱锥内接于半径的球，
所以球心在线段的垂直平分线上，
所以，
由，,解得.
所以三棱锥的体积为.
故选：C.
6. 已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为圆的半径为，
且过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，
所以圆心到直线l的距离，解得或，
故实数的取值范围是.
故选：D
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限部分的交点为，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以与相似，所以，
所以，则，
所以由得，
所以，解得（舍去）或.
所以双曲线的离心率为.
故选：D
8. 已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为当时，都有成立，
不妨令，则都有成立，
即对任意，且，都有成立，
所以函数在上单调递增，
因为是定义在上的奇函数，
所以，所以函数是偶函数，
所以函数在上单调递减，
又，则，
所以不等式或或，
解得或.
所以不等式解集为.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）
（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于A，因为随机变量服从正态分布，
所以
，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，
，故D错误；
故选：ABC
10. 某小区共有2000名20~60岁的居民进行消防知识有奖答题，满分100分.答题完成后，工作人员从中随机抽取100人的答卷，并根据成绩绘制了频率分布直方图（如图），则下列结论正确的是（ ）
A. 频率分布直方图中
B. 小区2000名20~60岁居民答题成绩的平均数约为70.5，极差约为60
C. 估计这100名居民答题成绩的第60百分位数为70
D. 被抽取的100人中答题成绩在的约有45人
【答案】ABD
【解析】由图可知，所以，故A正确；
记平均数为，则，
极差约为，故B正确；
设第60百分位数为，
所以，故C错误；
成绩在的占比为，所以约有人，故D正确.
故选：ABD
11. 如图所示，在棱长为1的正方体中，为上的动点（不与点重合），则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B. 平面平面
C. 点到平面的距离为定值
D. 存在一点，使得直线与平面所成角为
【答案】AB
【解析】对于A：由正方体易知，又 不在平面内，在平面内，所以平面，正确；
对于B：由正方体易知平面，又在平面内，所以平面平面，正确；
对于C，在正方体中，易知，又不在平面内，在平面内，
所以平面，又为上的动点，所以点到平面的距离等于到平面的距离距离，
，
由等体积可得：
即，所以，
所以点到平面的距离为定值，故错误；
连接，由正方体易知直线与平面所成角,
所以，若存在一点，使得直线与平面所成角为，
即需满足，，也即，
而在等腰直角三角形中，，显然不能成立，
所以不存在点，使得直线与平面所成角为，D错误；
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则_____.
【答案】
【解析】因为，
所以由展开式的通项公式得
，
所以.
故答案为：.
13. 已知函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】由，可知，
，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
存在唯一极值点2，
所以，解得：，
又，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
14. 已知函数，若方程在区间上恰有5个根，且在上单调递增，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】由题意，
，
由，可得，则或
由可得，
由恰有5个根，可得，解得.
由，得，即函数在上单调递增，
所以，，即，且，解得.
所以，实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，E是边的中点，，.
（1）求的值；
（2）的平分线交于点，求的长.
解：（1）由余弦定理得：，，
因为,
且，
所以有：，解得；
（2）由余弦定理是：，
因为，所以，
又因为是平分线，所以，
再由面积公式可得：，
代入，可得.
16. 我们把鱼在水中聚集的比较密的地方叫做鱼窝.某人在一湖中用粘网（也叫挂网）捕鱼，如果找到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为；如果找不到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为.若这个人能够找到鱼窝的概率为.
（1）求此人能捕到鱼的概率；
（2）此人连续下网次，每次下网捕鱼之间相互独立，若能捕到鱼的次数为，则为何值时，次捕到鱼的概率的值最大?
解：（1）记事件为“此人能补到鱼”，事件为“此人能找到鱼窝”，
则，，，
.
（2）由（1）知：，，
假设当时，次补到鱼的概率最大，
则，解得：，
若的值最大，则，解得：，
又且，或，
即当或时，次补到鱼的概率的值最大.
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为8的菱形，为的中点，，.
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面夹角的正弦值.
（1）证明：如图，连接,
，为的中点，,
底面是菱形, ,是等边三角形，则,
平面,平面,
平面.
又平面
平面,
（2）解：由题意，在中，,所以，.
在中，,所以，.
则,,
所以.
如图建立空间直角坐标系，以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作轴底面，则，
,.
设平面的法向量，
，
则，令，则，
所以
设平面的法向量，
，
则，令，则，
所以
所以设平面与平面夹角为，则
所以，平面与平面夹角的正弦值为.
18. 已知点，，是平面内一动点，，垂足位于线段上且不与点A，B重合，.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点且与曲线相交的两条线段分别为和，（直线EF，MN的斜率均存在，且点E，F，M，N都在曲线上），若G，H分别是和的中点，求证：直线过定点.
（1）解：由题可设，，
因为，所以，
整理得，即动点的轨迹的方程为.
（2）证明：由题可设直线的方程为，，
联立，
所以，
所以的中点为，
因为，所以直线方程为，
同理可得中点坐标为，
所以直线斜率为，

所以直线的方程为，
令.
所以直线过定点.
19. 已知函数.
（1）当时，求函数在上的单调区间；
（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）易知函数的定义域为，
，
令，易知，
显然时，，即此时单调递增，
时，，此时单调递减，所以，
所以时，，所以函数在上单调递增，
递增区间为，无单调递减区间；
（2）易知，
则，
令
再令，则，
易知时，单调递增，时，单调递减，
则，即，在时取得等号，
则，
①若，显然，即在定义域上单调递增，
即，符合题意；
②若，易知，
令，
令，
因为，显然，
则在上单调递增，，
则在上单调递增，，则此时，使得，
即上，则在此区间单调递减，，不符题意，
综上所述.