广西壮族自治区梧州市2024年中考二模数学试卷（解析版）

这是一份广西壮族自治区梧州市2024年中考二模数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各数属于无理数的是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】0，，都是有理数，是无理数，
故选：C.
2. 2023年，中国杭州举办了第十九届亚运会，右图是本届亚运会的会徽的部分图案，通过平移该图案可得到下列图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵平移后的图形的方向、大小、形状都不变，
∴C图形是通过平移该图案可得到的图形，
故选：C.
3. 若有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵有意义，
∴，
∴，
故选：B.
4. 如图所示，小华同学使用直尺与三角板画平行线，在平移三角板的过程中，保持三角板的斜边与直尺的夹角相等，这种画平行线的依据是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等
B. 内错角相等，两直线平行
C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 同位角相等，两直线平行
【答案】D
【解析】∵保持三角板的斜边与直尺的夹角相等，
∴三角板两个位置的斜边平行（同位角相等，两直线平行），
故选：D.
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：C.
6. 下列各式运算结果为a⁵的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.，故该选项不符合题意；
B.和不是同类项不能合并，故该选项不符合题意；
C.，故该选项符合题意；
D.，故该选项不符合题意；
故选：C.
7. 下列调查活动，适合使用全面调查的是
A. 对西江水域的水污染情况的调查B. 了解某班学生视力情况
C. 调查某品牌电视机的使用寿命D. 调查央视《新闻联播》的收视率
【答案】B
【解析】A、对西江水域的水污染情况的调查，西江水域范围大，适合抽样调查；
B、了解某班学生视力情况，调查工作量比较小，适合全面调查；
C、调查某品牌电视机的使用寿命，数量多，且可能具有破坏性，适合抽样调查；
D、调查央视《新闻联播》的收视率，观众数量多，适合抽样调查；
故选：B.
8. 化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，过点向下作于点，交于点，连接，
∴，，
∵半径为，瓶内液体最大深度为，
∴，，
∴，
∴，
∴.
故选：D.
9. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，
得到的抛物线为，
即，顶点坐标为.
故选：B.
10. 某景区为提供更好的游览体验，在景区内修建了观光索道，设计如图所示，以山脚A为起点，沿途修建长度分别为，的两段索道和及观景平台，已知索道与的夹角是，与的延长线的夹角是，则点D到的距离是（ ）（米）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，延长交于H，
在中，，
∴米，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴米，
在中，，
∴米，
∴，
故选：A.
11. 2024年元旦开始，梧州市体育训练基地吹响冬季足球训练“集结号”，该基地组织了一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，设有x支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设应邀请个球队参加比赛，由题可知，，
故选：D.
12. 已知抛物线经过，两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则n的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵抛物线经过，两点，A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，
∴抛物线对称轴为，，抛物线开口向上，
若点A在抛物线对称轴的左侧，点B在抛物线对称轴的右侧，
∴，解得：，
∴不等式组无解，
∴该情况不存在；
若点A在抛物线对称轴的右侧，点B在抛物线对称轴的左侧，
∴，解得：，
∵，抛物线开口向上，
∴点A到抛物线对称轴的距离点B到抛物线对称轴的距离，
∴，解得：，
∴.
综上所述，n的取值范围是，
故选：A.
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13. 化简：＝_____.
【答案】±2
【解析】±＝±2，
故答案为：±2.
14. 因式分a3－a=______.
【答案】a（a－1）（a + 1）
【解析】a3-a=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a－1）（a + 1）.
15. 已知反比例函数的图象与直线交于点，则这个反比例函数的解析式为______.
【答案】
【解析】∵反比例函数的图象与直线交于点，
∴把代入得：，
∴点的坐标为，
∴把代入得：，
∴，
∴这个反比例函数的解析式为，
故答案为：.
16. 2024年梧州市男生体育中考项目中，除“跳绳”、“掷实心球”必选外，另从“立定跳远”、“长跑”、“50米”、“排球”、“篮球”、“足球”这六项中选一项测试.小强和小明从自选项目中选择同一个测试项目的概率是______.
【答案】
【解析】用A、B、C、D、E、F分别表示“立定跳远”、“长跑”、“50米”、“排球”、“篮球”、“足球”这六个项目，
画树状图为：

共有36种等可能的结果数，其中小强和小明从自选项目中选择同一个测试项目的结果数为6，
所以小强和小明从自选项目中选择同一个测试项目的概率.
故答案为：.
17. 如图，圆锥底面圆的半径为3，母线与底面圆的夹角，则该圆锥侧面积为______.

【答案】
【解析】∵，，
∴，
∴，
故答案为：.
18. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，会徽的主题图案是由图2中七个直角三角形演化而成的，其中.则组成会徽的七个直角三角形的面积的平方和为______.

【答案】7
【解析】由题意得，
，
，
，
，
；；；；；
∴
，
故答案为：7.
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.）
19. 计算：.
解：
.
20. 解分式方程：.
解：
方程左右同乘以、去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，，
检验：，则，故是原分式方程的根，
，则，故是原分式方程的增根，
∴原分式方程的解为.
21. 如图，在中，，.

（1）【实践操作】用尺规作图法作边的垂直平分线，交于点D，连接.
（2）在（1）所作的图形中，证明：是等边三角形.
（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形.
22. 某校根据学生的兴趣爱好，准备开设“篮球”、“种植”、“书法”、“舞蹈”四门校本课程，每名学生只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.请你依据图中信息解答下列问题：

（1）参加此次问卷调查的学生人数是______人，在扇形统计图中，选择“篮球”的学生所对应的扇形圆心角的度数是______；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校八年级共有800名学生，请估计八年级学生中选择“舞蹈”课程的约有多少人？
解：（1）参加此次问卷调查的学生人数是：；
选择“篮球”的学生所对应的扇形圆心角的度数是：.
故答案为：，；
（2）选择“种植”的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示.
；
（3）名.
答：八年级学生中选择“舞蹈”课程的约有人.
23. 如图，是的角平分线，，以点为圆心，为半径画圆，过点作的垂线，交的延长线于点D
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长.
（1）证明：过点作垂足为点，如图，
∴
由作图知，是的切线，且
∴
∵是的角平分线
∴
∴是的切线；
（2）解：在中，
∵
∴
∵是的切线，是的切线，
∴
∴
设的半径为，则
∴
在中，
∴，
解得，
在中，
∵
∴
∴
又
∴
∴
∴
24. 【问题情境】水钟也叫漏刻，是古代的计时器，今天看起来依然很哇塞.水钟分为泄水型和受水型两类，如图①是泄水型水钟.水钟是根据流水的等时性原理来计时的，小红根据这个原理制作了一个简易的泄水型水钟模型，记录了在一次实验中不同时间的水位读数，整理成下面的表格：
【探索发现】
（1）小红尝试从函数的角度进行探究，用横轴表示泄水时间，纵轴表示水位读数，建立如图②的平面直角坐标系，请你将上表中的数据为点的坐标，在图②中描出相应的点.
（2）观察上述各点的分布规律，猜想与之间满足哪种函数关系，并求出与的函数表达式，验证这些点的坐标是否满足函数表达式.
【问题解决】
（3）若观察时间为，水位读数是多少厘米？
（4）小红本次实验开始的时间为下午时分，当水位读数为时，是几点？
解：（1）由表中数据得：、、、、、、，如图，描出各个点，
（2）猜测与之间满足一次函数关系，
设，把、代入得：，
解得：，
∴与的函数表达式为，
这些点的坐标满足函数表达式，验证如下，
∵由、得出表达式，这两点符合，
当时，，符合，
当时，，符合，
当时，，符合，
当时，，符合，
当时，，符合，
∴这些点的坐标满足函数表达式；
（3）∵观察时间为，
∴把代入得：，
答：若观察时间为，水位读数是厘米；
（4）∵水位读数为，
∴把代入得：，
解得：，
∴泄水时间为分，
∵小红本次实验开始的时间为下午时分，
∴时分分时分，
答：当水位读数为时，是下午时分.
25. 如图，二次函数的图象交x轴于点A，，交y轴于点，点M是直线上方的二次函数图象上的一个动点，过点M作轴，垂足为点D，交于点E.
（1）求二次函数的解析式和点A的坐标；
（2）连接，交y轴于点F.
①当时，求点M的坐标；
②连接，四边形有可能是正方形吗？如果有可能，此时的正切值是多少？如果没可能，请说明理由.
解：（1）∵二次函数的图象经过，，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为，
令，则，
解得，，
∴；
（2）①∵，，
设直线的解析式为，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设点M的坐标为，则点E的坐标为，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）或，
∴点M的坐标为1,4；
②由①得，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
当时，四边形是正方形，
∴，
解得，
∴，，
∴.
26. 如图，在等腰中，，，点P，点M分别是，上的动点，当，过点M作交于点N，连接，设的长为x，
（1）当x为何值时，四边形是平行四边形？
（2）设四边形的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）连接，若点P在线段的垂直平分线上，求的值.
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得：，
即当时，四边形是平行四边形；
（2）过点A作于点D，连接，如图所示：
∵，，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴
；
（3）过点P作于点E，过点C作于点D，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，
∵点P在线段垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴.泄水时间
…
水位读数
…