江苏省南通市如皋市2024-2025学年高一下学期教学质量调研（一）（3月）数学试卷（解析版）

展开

这是一份江苏省南通市如皋市2024-2025学年高一下学期教学质量调研（一）（3月）数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，若，则实数的值为（）
A. B. 3C. D.
【答案】B
【解析】因为，
又因为，所以，则实数.
故选：B.
2. 若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
因此.
故选：A.
3. 已知，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，且，
所以，所以，
所以，
因为，所以.
故选：A．
4. 在中，为上一点，且，则实数值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
因此，
因为三点共线，所以，.
故选：B.
5. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
即变形得：.
故选：C.
6. 在直角梯形中，，点分别为，的中点，则（）
A 0B. C. 1D.
【答案】C
【解析】以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系.
已知，则；因为，，，所以，
又因为，可得，即，
解得（舍去，因为在直角梯形中），所以，.
因为点为的中点，所以；点为的中点，可得，
即.
所以，.
可得：.
故选：C.
7. 已知，则（）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】，
，
，
，
，
从而.
故选：D.
8. 在中，，则（）
A. 9B. C. 6D.
【答案】A
【解析】因为，所以点是三等分点，
所以，则，
又，
所以.
故选：A．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确的是（）
A. 在中，若，则
B. 已知向量满足条件，则为等边三角形
C. 在中，若，则为直角三角形
D. 在中，若，则为等腰三角形
【答案】BCD
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，设OA=OB=OC=r>0，
由得，，
所以，即，
所以，
又∈0,π ，所以，
同理可得，，
所以为等边三角形，故B正确；
对于C，由，得，
展开整理得，即，故C正确；
对于D，设，则射线是的平分线，
又，所以，所以为等腰三角形，故D正确.
故选：BCD．
10. 下列计算正确的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】根据诱导公式可得，
.
则.
可得.
因为，所以选项正确.
可得.
则.可得.
所以，选项错误.
分子分母同时除以，
可得.
因为，所以.
可得，C选项正确.
.
可得.
则.
可得.
所以，选项正确.
故选：ACD.
11. 已知，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】由题意可得，
所以，
对于A，，故A错误；
对于B，，
故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，故C正确；
对于D，因为，
所以，
所以，故D错误.
故选：BC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量的夹角为__________.
【答案】
【解析】因为向量在向量上的投影向量为，
又向量在向量上的投影向量为，所以，，
，
，.
13. 若，则__________.
【答案】
【解析】因为
.
14. 已知，则__________.
【答案】
【解析】由，
得：，
，
，
所以.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知.
（1）求；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
解：（1），，
又，
，，
.
（2）与的夹角为锐角，
∴a→+λb→⋅a→+2b→>0，∴a→2+2λb→2+(2+λ)(a→⋅b→)>0，
，，，∴|a→|2+2λ|b→|2>0，∴3+2λ>0，∴λ>-32.
又与不共线，，，
且.
16. 已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
解：（1），
，．
（2）因为，
所以．
17. 已知向量.
（1）若与共线，，求的值；
（2）设函数，求的值域.
解：（1），
，
与共线，
，
，，
即，.
（2）
，
，
所以当时单调递增，当时单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以函数的值域为.
18. 在等腰梯形中，为线段中点，与交于点.
（1）求的值；
（2）求的余弦值；
（3）求与的面积之比.
解：（1）取线段的中点，连接，
因，
则四边形为边长为2的菱形，
又，则为等边三角形.
则
.
（2）
，
所以.
（3）设，因为为线段的中点，所以，
，
因为三点共线，所以即，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以.
19. 在中，为钝角，，点为所在平面内一点，满足，，线段交线段于点.
（1）若，求；
（2）在（1）条件下，求的最大值；
（3）设，求的最小值.
解：（1）因为，
同理所以为的外心，，
因为，，所以.
（2）设，
.
所以当时，最大值为.
（3）设，，，，
两边同时平方得，，，
令，，
当且仅当即时，等号成立.
所以的最小值为.