江苏省南通市如皋市2022-2023学年高一下学期教学质量调研（一）数学试卷（含答案）

江苏省南通市如皋市2022-2023学年高一下学期教学质量调研（一）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知向量，不共线，向量，且，则的值为(   )

A.1 B. C. D.2

2、在中，若，则的形状是(   )

A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

3、在平行四边形中，G为的重心，，则(   )

A. B.2 C. D.1

4、定慧禅寺位于江苏省如皋市，是国家AAA级旅游景区.地处如皋古城东南隅，寺门正对玉带河，东临放生池，西南傍玉莲池，寺院平面布置呈"回"字形，楼堂环绕四周，宝殿坐落中央，形成"水环寺，楼抱殿"独特格局.某同学为测量寺内观音塔的高度，在观音塔的正北方向找到一座建筑物，高约为22.5m，在地面上点C处(B，C，N三点共线)测得建筑物顶部A，观音塔顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得观音塔顶部M的仰角为15°，观音塔的高度约为(   )

A.32m B.39m C.45m D.55m

5、如图在直角梯形ABCD中，已知，，，，，则(   ).

A.22 B.24 C.20 D.18

6、已知，则(   )

A. B. C. D.

7、已知，则(   )

A. B. C. D.

8、24届国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，直角三角形中较小的锐角为，则(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、下列各式中，值为1的是(   )

A. B. C. D.

10、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论错误的是(   )

A.

B.若，则内切圆的半径为2

C.若，则

D.若P为内一点满足，则与的面积相等

11、下列说法错误的有(   )

A.若，，则

B.若与共线，则一定有使得

C.若，则四边形是平行四边形

D.若且，则和在上的投影向量相等

12、在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是(   )

A.若，则面积的最大值为

B.若，且只有一解，则b的取值范围为

C.若，且为锐角三角形，则c的取值范围为

D.O为的外心，则

三、填空题

13、已知函数，，则的最小正周期为__________.

14、如图，B、D是以为直径的半圆上的两点，其中，，，则与所成角的余弦值为__________.

15、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且面积为，若，则__________.

16、在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界(如图①)，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形(如图②).已知正六边形的边长为1，点M满足，则__________；若点P是正六边形边上的动点(包括端点)，则的最大值为__________.

四、解答题

17、已知，是同一平面内的两个向量，其中，且.

(1)若，求的坐标；

(2)若，求与夹角.

18、已知.

(1)求的值；

(2)求的值.

19、等边三角形，边长为2，D为的中点，动点E在边上，E关于D的对称点为F.

(1)若E为的中点，求.

(2)求的取值范围.

20、已知函数，，若，的最小值为.

(1)求在区间上的值域；

(2)若，，求的值.

21、记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.

(1)求A；

(2)若，点D在边上，，求.

22、记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求角C；

(2)求的取值范围.

参考答案

1、答案：C

解析：解：因为向量，不共线，且，

所以，即，，

所以，解得或.

故选：C.

2、答案：B

解析：因为，

所以，

所以.

因为，所以.

又因为，所以，为直角三角形，

故选：B.

3、答案：C

解析：如图，设AC与BD相交于点O，G为的重心，

可得O为BD的中点，，

，

可得，，；

故选：C.

4、答案：C

解析：解：由题意，在中，，

在中，，，

，由正弦定理，

得，

又在中，.

故选：C.

5、答案：A

解析：解：因为，，

所以

，

故选：A.

6、答案：A

解析：已知，

则，

即，

则.

故选：A.

7、答案：D

解析：已知，

则，

则.

故选：D.

8、答案：B

解析：因为大正方形的面积是小正方形面积的25倍，

设小正方形的边长为a，则大正方形边长为5a，直角三角形的面积为，

设直角三角形的直角边分别为x，y且，则由对称性可得，

而直角三角形的面积为，

联立方程组可得，，

，，

.

9、答案：BC

解析：A项，，错误；

B项，，正确；

C项，，正确；

D项，，错误.

故选：BC.

10、答案：BCD

解析：对于A，因为根据正弦定理得，，所以，则，所以A正确；

对于B，当时，，，由选项A可知为直角三角形，设内切圆半径为r，则，所以，解得，所以内切圆半径为1，所以B错误；

对于C，当时，，，可知为直角三角形，

，所以C错误；

对于D，，即(如图，D为AC中点)，

由此可得P为BD中点，

，，

由此知与的面积不相等，所以D错误；

故选：BCD.

11、答案：ABD

解析：A，当时，满足，，但不一定成立，A错误，

B，当，时，满足与共线，但不存在，使得，B错误，

C，若且A，B，C，D共线时，不能构成四边形，C错误，

D，若且，则，，，

则和在上的投影向量相等，D正确.

故选：ABC.

12、答案：ACD

解析：对于A，由正弦定理可得，

因为所以，所以，

若，且，所以，

由余弦定理得，

由，，可得，

即，当且仅当时等号成立，

则面积，所以面积的最大值为，故A正确；

对于B，若且，由正弦定理得，

所以，当时，

即，时有一解，故B错误；

对于C，若，所以，且为锐角三角形，

所以，解得，所以，

由正弦定理得，故C正确；

对于D，如图作交BC于点D点，则D点为BC的中点，且，

设，所以，

所以，故D正确.

故选：ACD.

13、答案：

解析：

，

所以的最小正周期为，

故答案为：.

14、答案：

解析：如图，令圆心为O，连接，，

因为，所以，

取OA中点P，连接BP，

因为，所以是等边三角形，

所以，则，

如图，以O为原点，分别以，为x轴，y轴建立直角坐标系，

则，，，所以，，

令，

所以，，，

所以，

即与所成角的余弦值为

故答案为：.

15、答案：3

解析：，解得：；

又，代入得：，或，；

根据余弦定理得：，

解得：；

故答案为：3.

16、答案：1；

解析：由题可知，，

，

，

结合以及正六边形的几何特征可知M为AD的中点，

所以

；

要使最大，可知当P在D处时，最大，此时最大，

即，

故答案为：1；.

17、答案：(1)或者

(2)

解析：(1)设.

因为，，

所以即，

因为，

所以.

解得时，或时，，

所以或者.

(2)记与夹角为.

因为，

所以即，

所以，又因为，所以.

18、答案：(1)

(2)

解析：(1)因为，

所以，所以.

(2)方法一：

.

方法二：

因为，，

所以，，

所以.

19、答案：(1)

(2)

解析：(1)因为D为中点，

所以.

因为E为中点，

所以，

所以.

(2)因为等边三角形，边长为2，D为中点，

所以为，

因为E关于D的对称点为F，

所以，

所以

，

因为动点E在上，

所以当时，取最小值，即，当E与A重合时，取最大值，即，

所以，

所以的取值范围为.

20、答案：(1)

(2)

解析：(1)由题意知，

，

因为，的最小值为，

所以，

又，

所以，

所以.

因为，

所以，

所以，

所以在区间上的值域为.

(2)因为，，所以，

因为，所以，

又，所以，

所以.

令，则且，即，，

所以.

21、答案：(1)

(2)

解析：(1)方法一：

因为，，

由余弦定理得，，

整理得，

所以，

因为，所以.

方法二：

因为，，

所以，

由正弦定理得，

，

因为，

所以，

所以，

整理得.

因为，所以，

所以，

又，所以.

(2)因为，，，

由余弦定理得，，

整理得，

又，

所以.

方法一：

所以.

因为点D在边上，，

所以D为边上靠近C的三等分点，

所以，.

在中，

，

又，

所以.

方法二：

，

又，

所以.

22、答案：(1)

(2)

解析：(1)方法一：因为，

所以，

，

因为，

所以，，

所以，，

上式整理得，

即，

所以，

所以.

因为，所以，

因为，所以，即.

方法二：因为，

整理得，

所以，

，

，

由和差化积公式得

，

，

整理得，

因为，所以，

因为，所以，

所以，

即，所以，

得.

(2)因为

，

所以令，，

则，

令，

所以在区间上单调递增，

所以的取值范围为，

所以的取值范围为.