河北省保定市部分高中2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份河北省保定市部分高中2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章第1节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（ ）
A. 56B. 15C. 28D. 30
【答案】B
【解析】不同的选择种数为.
故选：B.
2. 据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
故当时，，
即时，“高原版”复兴号动车的加速度为，
故选：B
3. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ）
A. 11种B. 22种C. 30种D. 60种
【答案】C
【解析】依题意第一步从5名男队员中选出1名，共有5种选法；
第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法；
根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有（种）．
故选：C．
4. 已知函数，则（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以，
令，得，
∴，
所以，故
故选：D.
5. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，则，
∴，即，
∴.
故选：D.
6. 已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】易知的定义域为，又，
由题意可知在上有解，即在上有解，
可得，所以．
故选：C．
7. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，因为，
所以，
所以在上单调递减；
又，所以，
因此不等式可化为，
所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：A
8. 把一个球形的原材料切割成体积为2的正四棱锥，则球形原材料的半径至少为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】易知当体积为2的正四棱锥的所有顶点均在球体的表面时，球形原材料的半径最小．
设正四棱锥的底面边长为，球心为，底面中心为，高为，如下图所示：
易知底面的外接圆的半径为，
由球的性质可知，即，
整理得，
又正四棱锥的体积为2，所以，所以，所以．
设，则，
由得，，当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列求导结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A选项，，故A正确；
对于B选项，，故B错误；
对于C选项，，故C错误；
对于D选项，，故D正确．
故选：AD．
10. 设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由题意知与轴有三个交点，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
则在区间上单调递减，
在区间上单调递增，故A，C正确；B，D错误．
故选：AC．
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的极小值点为1
B. 的最小值为3
C. 不存在过原点且与曲线相切的直线
D. 若，且，则的最小值为128
【答案】ACD
【解析】对于A，函数的定义域是
，
令，得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以的极小值点为1，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，设切点坐标为，则切线斜率为，
所以切线方程为，
又切线过原点，则有，
即，无解，即过原点且与曲线相切的直线不存在，故C正确；
对于D，由，得，
即，
又且，所以，
又，所以，
令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，所以的最小值为128，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 已知函数，则__________.
【答案】6
【解析】由题设，根据导数的概念知.
故答案为：6
13. 某市教育局为切实落实政策《关于深入推进义务教育学校校长教师交流轮岗的意见》，安排3名校长和4名教师到甲、乙、丙三所学校进行轮岗交流，要求每所学校安排一名校长，每个校长和老师只去一个学校，则不同的安排方案种数是______
【答案】
【解析】先安排校长：每所学校安排名校长，
则不同的安排方案种数是；
再安排教师：每个教师均有3个学校可以选择，
则不同的安排方案种数是，
综上所述，由分步乘法计数原理得不同的安排方案种数是．
故答案为：
14. 设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】，设，则，
所以，，所以，
因为与的图象若恰有3组对称点，
所以有三组解，可得即有三个解，
令，即函数与的图象有3个不同的交点，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
所以，，
所以.
故答案：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求的值；
（2）求曲线在点处的切线方程．
解：（1）由，得，
因为，所以，解得．
（2）由上问得，所以，则，
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
16. 已知函数在处有极小值3．
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域．
解：（1）由题意得函数，
则，由题意得，解得
当时，，令，解得．
则当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
则是极小值点，符合题意，故．
（2）由（1）知，
则当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增，则当时，函数取得极小值，
当时，函数取得极大值，
而，故在上的值域为．
17. 设函数，其中为自然对数的底数．求证：
（1）当时，；
（2）．
解：（1）令，
则，
当时，，在上单调递增，
故，
即当时，成立.
（2）由（1）可得：当时，，
要证，即证，即证，
令，
则，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间单调递减，
所以在处取得最小值，
所以，
即恒成立，
所以．
18 已知函数．
（1）当时，求的极值点个数
（2）当时，恒成立，求实数的最小值．
解：（1）当时，，定义域为，
．
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，即，
所以在上单调递减，
故的极值点个数为．
（2）当时，，
不等式可化为在上恒成立，
令，则，
由（1）可知，，即（当且仅当时取等号），
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，
故实数的最小值为．
19. 若对且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数．
（1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由；
（2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围；
（3）若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求证．
解：（1）函数是函数在区间上的1级控制数．
理由如下：因为，且，所以，
所以，即成立，
所以函数是函数在区间上的1级控制函数．
（2）由函数是函数在区间上的级控制函数，
得，又，由指数函数性质得在上单调递增，
所以，即恒成立．
令，所以当，且时，恒成立，
故在上恒成立．因为，所以在上恒成立，
则恒成立，即，由指数函数性质在上单调递增，
故，则，由题意得，所以，
综上，可以得到实数的取值范围是．
（3）因函数在区间上存在两个零点，
所以我们不妨设，且，
因为函数是函数在区间上的级控制函数，
所以，
即，
可以得到．
要证，即证，
即证，即证，
令，构造，
所以，
所以在上单调递增，
所以，即时，，
即成立，所以得证．