2024-2025学年河北省保定市高一下册三月考试数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省保定市高一下册三月考试数学检测试卷（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，若，则a的值是（ ）
A. 1或2B. 或0C. 1D.
【正确答案】C
【分析】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值.
【详解】由题设，可得或，
当时，，满足题设；
当时，，不符合集合元素的互异性；
所以.
故选：C
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】C
【分析】利用量词命题的否定规则即可得解.
【详解】量词命题的否定规则为：改量词，否结论，
所以“，”的否定是，.
故选：C.
3. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】求出集合，由求出实数的取值范围.
【详解】集合；
，.
.
则实数的取值范围是.
故选：D.
4. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C.
【详解】对A：若，，则有，，
此时，故A错误；
对B：若，，则有，，
此时，故B错误；
对C：，
由，故，，，故，
即，故C正确；
对D：若，，则，，
此时，故D错误.
故选：C.
5. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解.
详解】当时，恒成立，则；
当时，，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D
6. 若、都有恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】推导出，，将代入各选项中的代数式，利用基本不等式逐项判断即可.
【详解】显然不满足等式，所以，，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，A对B错；
，
当且仅当时，即当时，等号成立，即，CD都错.
故选：A.
7. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（ ）
A. 9B. 6C. D. 5
【正确答案】D
【分析】问题化为在区间上有解，应用基本不等式求右侧最小值，即可求参数范围.
【详解】关于x的不等式在区间上有解，
等价于在区间上有解，即在区间上有解，
又，当且仅当时，取最小值6.
故，可得.
故选：D
8. 设为正实数，若，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由题意可得进而，则，解得，即可求解.
【详解】由，得，
由，且为正实数，所以，
于是，故，
所以，所以，
解得.
故选：A
二、多选题（每题6分，错选0分，少选扣分）
9. 已知且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】ACD
【分析】先化简式子得到，应用基本不等式的乘“1”法可判断BD，A直接应用基本不等式即可判断，C转化为二次函数即可判断.
【详解】根据题意:
，
，
，又，，
，
对A，，则，
当且仅当且，即时等号成立，A正确；
对B，，
当且仅当且，即时等号成立，B错误；
对C，由，又，
故，所以，当且仅当时等号成立，C正确；
对D，，
当且仅当且，即时等号成立，D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小值为2
B. 已知正实数满足，则的最大值为
C. 已知正实数满足，则的最小值为8
D. 设为实数，若，则的最大值为
【正确答案】BD
【分析】利用均值不等式来求最值，注意取等号条件是否满足，再利用函数思想求最值，即可作出判断．
【详解】对于A，由，
其中取等号条件为：，此时无解，故等号不成立，所以A错误；
对于B，因，所以，
即，所以，
所以恒成立，
则，
取等号条件：，又由，可得，，
即等号条件成立，此时有，故B正确；
对于C，由，
由于，且，可得，
利用反比例函数单调性可知在上递增，
利用复合函数单调性思想，结合指数函数单调性可判断在上递增，
所以，即无最小值，故C错误；
对于D,由
，
即，
当且仅当时等号成立，即能取到最大值，故D正确；
故选：BD．
11. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 最大值为
C. 的最小值为4D. 的最小值为
【正确答案】ABC
【分析】依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到，即可得到，从而判断A；再利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以和为关于的方程的两根且，
所以，所以，所以，故A正确；
又，所以，解得，当且仅当，即，时取等号，
所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确；
因为，所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为，故D错误.
故选：ABC
三、填空题（每题5分共15分）
12. 已知全集，集合或，则______.
【正确答案】或
【分析】数形结合得出补集即可.
【详解】在数轴上表示出全集,集合,
根据补集的概念可知或.
故或.
13. 已知，，，则的取值范围为_______.
【正确答案】
【分析】由已知计算可得，再结合不等式的性质计算即可求解.
【详解】，，
解得，
则，
，，
，，
，
即，
的取值范围为.
故答案为.
14. 若不等式对一切正实数，，恒成立，则实数的取值范围是______.
【正确答案】
【分析】根据不等式恒成立可得，利用基本不等式求得其最小值即可得出结论.
【详解】由不等式对一切正实数，，恒成立可得,恒成立，
令，
当且仅当时，等号成立，此时的最小值为2；
因此可得即可，
所以实数的取值范围是.
故答案为:
四、解答题（共77分）
15. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立．
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若有且只有一个为真，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）；
（2）或.
【分析】（1）求出函数在的最小值，再由恒成立建立不等式求解.
（2）化简命题，由（1）结合条件列不等式即可求出取值范围.
【小问1详解】
当时，的最小值为，
由为真命题，即对任意，不等式恒成立，
得，解得，
所以的取值范围.
【小问2详解】
当时，，当且仅当时取等号，
由为真命题，即存在，使得不等式成立，
得，解得，即，由（1）知，
而有且只有一个为真，则当真假时，，解得；
当假真时，或，解得，
所以的取值范围为或.
16. 如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？
【正确答案】（1）
（2）海报长，宽时，用纸量最少
【分析】（1）根据宣传栏的面积列出解析式；
（2）结合基本不等式求解出海报面积的最小值即的最小值；
【小问1详解】
由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，
，
整理得.
【小问2详解】
由（1）知，即，
，由基本不等式可得，
令，则，
解得（舍去）或.
，当且仅当，即时等号成立，
∴海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为.
17. 已知关于的不等式的解集为，其中．
（1）若，求的值；
（2）求不等式的解集.
【正确答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，结合韦达定理可得结果.
（2）讨论的范围，解一元二次不等式可得结果.
【小问1详解】
当时，关于的方程的两根为，
由韦达定理可得，解得.
【小问2详解】
原不等式可化为.
当时，原不等式为，解得，；
当时，方程的根为，，
当时，不等式可化为，解得或，
；
当，即时，原不等式为，；
当，即时，不等式可化为，解得，；
当，即时，不等式可化为，解得，.
综上所述，当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，.
18. 已知关于的不等式的解集为，集合.
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由题1和是方程的两个实数根，由韦达定理求解集合A，又“”是“”的充分不必要条件，可得是的真子集，利用集合的包含关系求解.
（2）由（1）可得，结合恒成立问题和基本不等式，，故而得解.
【小问1详解】
由题意知，1和是方程的两个实数根，且，
得，解得，
是的充分不必要条件，
是的真子集，而
，解得
故的取值范围为
【小问2详解】
由（1）可得：，
所以，当且仅当时，
取得最小值为，此时.
依题意有，即，
整理得，解得
所以的取值范围为.
19. 已知集合，．
（1）若集合，求此时实数的值；
（2）已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）依题意、为关于的方程的两根，利用韦达定理计算可得；
（2）由是的充分条件，知，分，、三种情况求出，利用集合的包含关系求实数的取值范围.
小问1详解】
因为，
所以、为关于的方程的两根，
所以，解得；
【小问2详解】
由，即，解得，
所以，
由命题，命题且是的充分条件，
所以，
由，可得，
当时，解得，即，所以（等号不同时取到），解得；
当时，解得，即，显然不符合题意；
当时，解得，即，所以（等号不同时取到），解得；
综上可得实数的取值范围为.