甘肃省兰州市2025届高三下学期诊断考试（一模）数学试卷（解析版）

这是一份甘肃省兰州市2025届高三下学期诊断考试（一模）数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若复数，则（ ）
A. 1B. C. 3D. 5
【答案】B
【解析】由，则.
故选：B.
2. 与向量反向的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】与反向的单位向量为.
故答案为：A.
3. 已知集合，以下判断正确的是（ ）
A. 是的充分条件B. 是的既不充分也不必要条件
C. 是的必要条件D. 是的充要条件
【答案】D
【解析】对于A，当时，成立，不成立，所以不是的充分条件，故A错误；
对于B，因为，所以，
因为，所以，所以，所以是的充分条件，故B错误；
对于C，因为，所以，当时，
成立，但不成立，所以不是的必要条件，故C错误；
对于D，因为，，所以，所以，所以是的充分条件，
由，可得，所以，所以是的必要条件，
所以是的充要条件，故D正确.
故选：D.
4. 若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设切点坐标为，函数，所以，
因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为
故选：B
5. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】若，则或或或，故A错误；
若，则或，故B错误；
若，在内作，所以，又，所以，
又，所以，所以，故C正确；

若，则或或为异面直线，故D错误.
故选：C.
6. 一个铅垂做单摆运动时，离开平衡位置的位移y关于时间x的函数图象如图所示，函数关系满足，当时，x不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图可知，最小正周期，则，
由，则函数图象过，即，
解得（），即（），可得，
故，由，则，
解得（）或（），
可得（）或（），
当时，，当时，，当时，.
故选：A.
7. 将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三位数字构成三位数a，后三位数字构成三位数b，记，m大于100的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先求m小于100的概率，百位必相邻，且较大数的十位小于较小数的十位，个位无限制，分两步：
（1）取百位的概率为；
（2）取十位，在剩下的4个数字中取两数分配给作十位，而a的十位大于b的十位与
a的十位小于b的十位的概率相等，此步符合要求的概率为，
所以m小于100的概率为.故m大于100的概率是
故选：D
8. 已知双曲线C的焦点为，过点的直线与双曲线C交于A，B两点．若，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设双曲线的方程为，因为双曲线C的焦点为，所以．
（1）当过点的直线与双曲线C右支交于A，B两点如图所示．
由，设，
则，由双曲线的定义知
，所以，
在中，，
在中，，
即，解得，
所以双曲线C的方程为，双曲线的渐近线方程为：．
（2）当过点直线与双曲线C两支交于A，B两点如图所示．
由，得
与双曲线定义不符，故此种情况不成立．
综合（1）（2）两种情况：双曲线的渐近线方程为，
故选：A．
二、多选题（体大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成缆作为样本，这7名同学的成领分别为78，80，81，84，87，88，90，则（ ）
A. 估计这次考试全班成绩的平均分为84
B. 从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是
C. 样本的分位数是87
D. 当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差
【答案】ABD
【解析】对于A，样本的平均分为，
所以估计这次考试全班成绩的平均分为84，故A正确；
对于B，从样本中任取两人的成绩有种不同的取法，
从成绩大于平均的3名同学中任取2人有种不同的取法，
所以从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是，故B正确；
对于C，因为，所以样本的分位数是第6个数据，故C错误；
对于D，当该样本中加入84形成新样本时，新数据平均数不变，
由方差公式可知新样本方差小于原样本方差，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知曲线，则以下说法正确的是（ ）
A. 点在曲线内部B. 曲线关于原点对称
C. 曲线与坐标轴围成的面积为D. 曲线的周长是
【答案】BC
【解析】
选项A：当时，得，即，
因，故，故或，
因，故点在曲线外部，故A错误；
选项B：将换成，将换成，方程不变，
故曲线关于原点对称，故B正确；
选项C：将将换成，方程不变，故曲线关于轴对称，
设曲线在第一象限与坐标轴围成的面积为，则曲线与坐标轴围成的面积为，
当时，方程，即，
其圆心坐标为，半径为，如图，
当时，得或，故弦长，
由，故，
则，故，故C正确；
选项D：由题意可知曲线的周长为，故D错误，
故选：BC
11. 已知函数和，以下判断正确的是（ ）
A. 函数在区间内有唯一的零点
B. 时，
C. 时，
D. 存在正实数a，当时，对于任意大于1的正实数N，
【答案】AD
【解析】由于，
当时，，则，
当时，，
故当时，，则，
故必有，使，因此A正确，B错误．
对于任意正数，
当时，，
取，当时，对于任意大于1的正实数N，
因此D正确，而当时，故C错误．
故选：AD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数在上的最小值为__________．
【答案】
【解析】，
令，解得：，（舍），
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则，又因为，，
则函数在上的最小值为.
故答案为：.
13. 在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为__________．
【答案】
【解析】由，
可得：，
即，
即,
即
化简可得：,又,
可得：，
由，可得,
因为，
所以，即，
所以锐角三角形ABC为等边三角形，
所以面积为，
故答案为：
14. 正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为__________．
【答案】
【解析】正方体的中心是内切球球心，设为O，O到平面的距离为d，
设A到平面的距离为，因为，所以，
所以，
所以，
正方体内切球半径，正方体内切球被平面截球面所得的截面是一个圆半径为r的圆，
所以，所以圆的面积为．
故答案为：．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知正四棱柱底面边长为3，点E、F分别在直线AD、CD上，，．
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
证明：（1），因为，
所以，
所以，平面平面，
所以平面．
（2）解：如图所示：以D为坐标原点，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
则三棱锥的体积，解得
则，
设平面的法向量为，
则，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值.
16. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶．某文具店试销二十四节气书签，每套书签24张，分别印有春夏秋冬四季节气各6张．文具店为促销进行抽奖活动，凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下：从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外．现从盒中随机抽出一张卡，若抽出春季卡，则把它放回盒子中，若抽出夏季卡，则该卡与盒外的一张春季卡置换．如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并获得2套二十四节气书签，否则不获奖．
（1）求只抽3次即获奖的概率；
（2）若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理？
解：（1）设事件（i可取1，2，3，4）表示第i次抽到春季卡，
（j可取1，2，3，4）表示第j次抽到夏季卡，事件C表示抽3次即获奖，
则，，
所以.
（2）设事件D表示获奖，则，
且，互斥事件，
，
由（1），，
，
，
又因为参加抽奖是否获奖相互独立，用随机变量X表示参加活动获奖人数，
若促销的30天中预计有360人参加活动，则，
所以，即估计获奖人数的平均值为30，
又因为获奖后每人获得2套二十四节气书签，，
所以商家准备60套书签作为奖品较为合理．
17. 已知椭圆的上顶点为，离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点A的直线与椭圆E交于点B，并与圆相切，已知点，直线QB与椭圆E交于点C，证明：AC与相切．
（1）解：设椭圆焦距为，
若焦点在x轴，由题干知：长轴长为，短轴长为，
由离心率为得，
由题可知，解得，
所以椭圆的方程为．
若焦点在y轴，由题干知长轴长为，短轴长为，
由离心率为得，
由题可知，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）证明：若焦点在x轴，椭圆的方程为，证明如下：
若直线AB斜率不存在，则B在y轴上，显然满足题意；
若直线AB斜率存在，设直线AB的方程为，
由得，，可得，
由于直线BQ的斜率为，
由得，，
即，可得，
所以直线AC的斜率，
由于直线与圆P相切，所以，
直线，圆心到直线的距离
所以直线AC与圆P相切．
若焦点在y轴，椭圆方程为，证明如下：
若直线AB斜率不存在，则B在y轴上，显然满足题意；
若直线AB斜率存在，设直线AB的方程为，
由得，，可得，
由于直线的斜率为，
由得，，
即，可得，
所以直线AC的斜率，
由于直线与圆P相切，所以，
直线，圆心到直线的距离
所以直线AC与圆P不相切．
综上焦点在x轴上时：直线AC与圆P相切，
焦点在y轴上时且直线AB斜率存在时：直线AC与圆P不相切.
18. 已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：；
（3）若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．
（1）解：设等差数列公差为成等比数列，则，
所以，解得或（舍去），所以；
（2）证明：设，当时，单调递减，
，所以，由（1）可知，
则有，所以不等式恒立．
（3）证明：因为，
所以要证，
只需证：，
根据（2）可知，那么，
，
所以.
19. 已知曲线．
（1）定义：若对于曲线上任意一点沿向量平移得到点仍在曲线上，其中T与是不同时为0常数，则称曲线沿向量的方向上有周期性．判断是否存在向量使曲线S具有周期性，若存在请写出一个符合要求的向量，若不存在，请说明理由：
（2）证明：曲线S是中心对称图形；
（3）当时，曲线S为一条封闭的曲线，四条直线，，，，围成矩形ABCD，其中为锐角，，证明：曲线S在矩形ABCD的内部或边上，且过矩形对角线交点的直线平分曲线S围成的面积．
（1）解：因为
所以当在曲线S上时，（m，，且m，n不同时为0）必在曲线S上，故存在向量使曲线S具有周期性，
向量，（m，，且m，n不同时为0），（m，n取一个符合要求的值即可）．
（2）证明：因为，，
所以当时，
故当在曲线S上时，必有在曲线S上，
而P与关于点对称，所以曲线S是中心对称图形，对称中心为，（m，n取一个符合要求的值也可）；
（3）证明：先证明曲线S上的点在直线的上方或直线上，
设是曲线S上任意一点，即证．
由可得，
令，则，原命题即证．
用反证法证明，假设，则，
由可得，
由于时原式不成立，故，则，
若，则，所以，
又，
故，得，矛盾．
故，即，又，因此，
从而，可得，因此，
所以，这与已知矛盾，故假设不成立，
由第（2）问可知，点是曲线S的中心，过M垂直于的直线为，
由，得，将其分别代入曲线S的方程两边，
左边，右边，
故点既在曲线S上又在直线上，从而曲线S上的点在直线的上方或直线上．
由于点到直线的距离，
到直线的距离，故，
到直线的距离，
到直线的距离，故，
所以点M也是矩形ABCD的中心，根据中心对称性可知曲线S上的点在直线的下方或直线上，同理可证，曲线S上的点也在直线之间，或直线上，因此，曲线S在矩形ABCD的内部或边上，又由于矩形ABCD和曲线S的对称中心重合，因此过矩形ABCD对角线交点的直线必平分曲线S围成的面积．