湘豫名校2021-2022学年高三下学期4月联考数学（理科）试题 附答案

这是一份湘豫名校2021-2022学年高三下学期4月联考数学（理科）试题 附答案，共14页。试卷主要包含了选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．2B．3C．D．
3．若数列是等差数列，，，则（ ）
A．B．1C．D．2
4．已知函数在处取得极值，则函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
5．已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
6．已知O是坐标原点．F是双曲线的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，O，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，．则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
9．在的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为（ ）
A．299B．C．300D．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱台的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．8B．11C．12D．13
11．为了防控疫情，某市进行核酸检测，经统计，该市在某一周内核酸检测的人数（单位：万人）如下图所示：
记表示从第i天开始，连续3天核酸检测人数数据的标准差，则，，，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
12．若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知向量，，其中，则的最小值为______．
14．已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
15．在△ABC中．BC=7．，点A在以B，C为焦点的椭圆上．同时点A在以B，C为焦点的双曲线上，若，的离心率分别为，，且，则角______．
l6．阿基米德多面体（Archimedean plyhedra）是由两种或三种正多边形面组成的半正多面体．它共有13种，其特点是棱长相等．如图1，顺次连接棱长为2的正方体各棱的中点，得到一个阿基米德多面体，如图2，在此阿基米德多面体的所有棱中任取两条，则两条棱垂直的概率为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小題满分12分）
已知三棱柱中，∠ACB=90°，，平面ABC，AC=BC，E为AB的中点，D为上一点．
（1）求证：AD⊥CE；
（2）当D为的中点时，求二面角的余弦值．
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求的最小值；
（2）若，求角C．
19．（本小题满分12分）
如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O．当直线l的倾斜角为30°时，．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求证：点P在定直线上．
20．（本小题满分12分）
某地质量检测部门从一企业的产品中随机抽取100件产品，测量这批产品的某项技术指标值，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计这100件产品的技术指标值的中位数；
（2）根据大量的测试数据，可以认为这批产品的技术指标值X近似地服从正态分布．根据上表计算出样本平均数，样本方差，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，从该企业这批产品中购买50件，设这50件产品中技术指标值恰好在98.32与194.32之间的数量为Y，求；
（3）如果产品的技术指标值在与之间为合格品，其他技术指标值为次品，每抽取100件产品中的合格品和次品件数分别是多少（精确到个位数）？计算从100件产品中任取3件，恰好取到1件次品的概率．
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，．
21．（本小题满分12分）
对于正实数a，b（），我们熟知基本不等式：，其中为a，b的几何平均数，为a，b的算术平均数．现定义a，b的对数平均数：．
（1）设，求证：，并证明；
（2）若不等式对任意正实数a，b（）恒成立，求正实数m的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中．直线（t为参数，为l的倾斜角．）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆，直线l与圆C交于M．N两点．
（1）若直线l的斜率，求弦MN的中点Q的直角坐标与弦长的值；
（2）若点．证明：对任意，有为定值．并求出这个定值．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求实数t的取值范围；
（2）若，求函数的最小值．
湘豫名校联考（2022年4月）
数学（理科）参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．B 【解析】，故选B．
2．D 【解析】因为，所以．所以．所以．故选D．
3．A 【解析】令．因为，，
所以，，所以．
所以．所以．故选A．
4．D 【解析】．
因为在处取得极值，所以．所以．
所以，画图可知的图像关于直线对称．故选D．
5．A 【解析】由图象可知，，排除选项C，D．
由在区间上为增函数可排除选项B，故选A．
6．A 【解析】由已知，得．
因为以F为圆心的圆经过点A，O，
所以．
所以．所以双曲线C的渐近线方程为．故选A．
7．C 【解析】因为
所以．
所以．故选C．
8．D 【解析】因为，所以．
又，所以．故选D．
9．A 【解析】令，得．
因为的展开式中项为，
所以的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为．故选A．
10．D 【解析】如图，该几何体为三棱台，可以看作棱长为2的正方体的一部分．
所以表面积为．故选D．
11．A 【解析】设第i天的核酸检测人数为万人，因为，
同时，，
所以．所以．
记为数据a，b，c的标准差，则，
同理可得．所以．
又，
所以，综上可得．故选A．
12．C 【解析】由原不等式可得，．
令，则由，得．
当时，，则
．
令，，则
，，
当时，等号同时成立．所以．所以．故选C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 【解析】法一：因为，
所以．
所以．
法二：设，，则，，．
因为点B在直线上，所以所求最小值为点A到直线的距离，
该距离为，所以．
14． 【解析】当时，．当时，
，①
．②
①－3×②，得．
因为不满足上式，所以．
15．60°【解析】设，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，则，，且．
因为点A在以B，C为焦点的椭圆上，
所以．
又因为点A在以B，C为焦点的双曲线上，
所以．
因为，所以．所以或．
所以．因为，所以．
16． 【解析】此阿基米德多面体共有24条棱，任取2条，共有种．
两条棱垂直有两类情况：①都来自同一个正方形：种；
②来自对面的两个正方形：种．故所求概率为．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．【解析】（1）因为，E为AB的中点，
所以．因为平面ABC，平面ABC，
所以．因为，
所以平面．
因为平面，所以．
（2）以C点为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则，，，．
所以，．
易知平面的一个法向量为．
设平面ACD的法向量为，
则即亦即
令，则平面ACD的一个法向量为．
所以．
故二面角的余弦值为．
18．【解析】（1）因为，所以由余弦定理，得
，
当且仅当时，等号成立．所以的最小值为．
（2）由及正弦定理，
得，即．
所以．因为，所以．
由及正弦定理，得．
因为，所以．所以．
所以．所以．
因为，所以．
19．【解析】（1）设直线l的方程为，，．
由得．
所以，．由抛物线定义，得
．
当直线l的倾斜角为30°时，，
．
所以，即抛物线C的标准方程为．
（2）由（1），得，．
因为的垂心为原点O，所以，．
因为，所以．
所以直线AP的方程为，即．
同理可得，直线BP的方程为．
联立方程解得
即．所以点P在定直线上．
20．【解析】（1）设中位数为．
因为，
所以，解得．
所以估计这100件产品的技术指标值的中位数为130.375．
（2）依题意，得，所以
．
所以从这批产品中任取一件其质量指标值恰好在98.32与194.32之间的概率为0.8185．
这50件产品中质量指标值恰好在98.32与194.32之间的数量为Y，则Y服从二项分布，
．所以．
（3）依题意，产品的技术指标值在与之间为合格品，其概率为
，
所以每抽取100件产品中合格品件数为95件，次品件数为5件．
所以从100件产品中任取3件，恰好取到1件次品的概率为
．
21．【解析】（1）令，则
．
所以当时，，在上单调递减．
又，所以当时，．
所以当时，，即．（*）
要证，只需证，
只需证，即证．
令，则由（*），得．
所以，即．
（2）由恒成立，得
恒成立，即恒成立．
令，由恒成立，得恒成立．
所以恒成立．
令，则
．
（注：）
①当，即时，
易知方程有一根大于1，一根小于1，
所以在上单调递增．所以，不符合题意．
②当时，有，
所以，从而在上单调递减．
故当时，恒有，符合题意．
综上可知，正实数m的取值范围为．
（二）选考题：共10分．请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．【解析】由圆，得圆．
将代入，得．
设点M，N，Q对应的参数分别为，，，则有，，
，．
（1）当时，，所以，．
所以．
所以，，
．所以．
所以．所以．
（2）由参数t的几何意义知，
，即为定值33，与无关．
23．【解析】（1）因为，
所以若，则对任意，都有，
此时函数在上单调递增，满足条件；
若，则当时，，
此时函数在上单调递减，不满足条件．
综上所述，实数t的取值范围为．
（2）因为，所以
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
综上可知，当时，函数取得最小值，最小值为．
故函数的最小值为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
D
A
A
C
D
A
D
A
C