湖北省宜荆荆恩2025届高三4月联考数学试卷（含答案）

这是一份湖北省宜荆荆恩2025届高三4月联考数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设复数z满足(3+4i)z=5i，则|z|=( )
A. 125B. 15C. 1D. 5
2.已知命题p:∀x∈R，|1−x|≤1，命题q:∃x>0，x2>2x，则( )
A. p和q都是真命题B. ¬p和q都是真命题
C. p和¬q都是真命题D. ¬p和¬q都是真命题
3.已知a，b，c均为单位向量若a=b−c，则a与c夹角的大小是( )
A. 2π3B. π3C. π6D. 5π6
4.已知a>1，函数f(x)=14x3,x⩽2lgax,x>2的值域为R，则实数a的取值范围是( )
A. [2,+∞)B. (1, 2]C. (1, 2)D. [ 2,+∞)
5.运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天3000米，1500米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有( )
A. 32种B. 24种C. 18种D. 12种
6.已知函数f(x)=x−1x，g(x)=lnx，在公共定义域内，下列结论正确的是( )
A. f(x)≥g(x)恒成立B. f(x)≤g(x)恒成立
C. f(x)⋅g(x)≥0恒成立D. f(x)⋅g(x)≤0恒成立
7.已知随机变量X，Y均服从两点分布，若P(X=1)=13，P(Y=0)=13，且P(X=Y)=23，则P(XY=0)=( )
A. 23B. 16C. 13D. 49
8.设xn是函数f(x)=x2+nlgn+1x−n2−3n(n∈N∗)的一个零点，记an=[xn2]，其中[x]表示不超过x的最大整数，设数列{an}的前n项和为Sn，则S1001=( )
A. 4992B. 499×500C. 5002D. 500×501
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知csαcsβ=13，cs(α+β)=14，则( )
A. sinαsinβ=112B. cs(α−β)=16
C. tanαtanβ=14D. cs2α+cs2β=524
10.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，圆C:(x+2)2+y2=1，圆C上存在动点P，过P作圆C的切线l，也与抛物线E相切于点Q，抛物线E上任意一点M到直线l与直线x=−p2的距离分别为d1，d2.若点P的坐标为(−52, 32)，则( )
A. F(2,0)
B. |QF|=163
C. d1+d2的最小值为83
D. 圆C上的点到直线FQ的最大距离为5 33+1
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P满足AP=xAB+yAD+zAA1，其中x，y，z∈[0,1]，下列正确的是( )
A. 当x=y=1时，则异面直线AP与CD所成角的正切值范围是[1, 2]
B. 当x+z=1，y=0时，则AP+PD1的最小值为 6+ 22
C. 当x+y+z=1时，线段AP的长度最小值为 33
D. 当x+y+z=k(00)的左右焦点分为F1，F2，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2=2F2B,AB=F1B，则椭圆C的离心率e= ．
14.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递减函数，且对∀x∈(0,+∞)，均有f(x)⋅f(f(x)−1x)=−12，若不等式f(x)≥aex在(0,+∞)恒成立，则实数a的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2025宜昌马拉松比赛于2025年4月13日在宜昌城区举行，主管部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到下表：
(1)依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异?
(2)用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设X表示这2人中对该部门服务质量非常满意的人数，求X的分布列和数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
16.(本小题15分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(2, 33)在C上，且AF2⊥F1F2．
(1)求C的标准方程;
(2)过F2的直线交双曲线C于M，N两点(M,N两点均位于x轴下方，M在左，N在右)，线段AM与线段F1N交于点R，若△F1RM的面积等于△ARN的面积，求|MN|．
17.(本小题15分)
如图所示，在△ABC中，sinC=3sinB，AD平分∠BAC，且AD=kAC．
(1)若DC=2，求BC的长度;
(2)求k的取值范围;
(3)若S△ABC=32，求k为何值时，BC最短．
18.(本小题17分)
如图，已知四边形ABCD为直角梯形，AB⊥BC，AB//CD，AB=2BC=2CD，以AD所在直线为轴将四边形ABCD旋转到四边形AEFD，连接BE，CF，且B，C，F，E四点共面．
(1)证明：多面体ABCDEF是三棱台;
(2)若∠EAB=π3，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值;
(3)若AB=2，二面角A−EB−C的余弦值为−17，求平面AEFD与平面ABE夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
定义：若函数f(x)图象上恰好存在相异的两点P，Q，满足曲线y=f(x)在P和Q处的切线重合，则称P，Q为曲线y=f(x)的“双重切点”，直线PQ为曲线y=f(x)的“双重切线”已知函数f(x)=axsinx+bcsx.
(1)当a=1，b=0时
(ⅰ)判断f(x)的奇偶性，并求f(x)在[−π2,π2]的极值;
(ⅱ)设f(x)在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列a1，a2，⋯，an，求证：π2ki(i=3,4,5,⋯,n)，证明：k1k22.706 ，
故依据小概率值α=0.1的独立性检验，
能认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异．
(2)由于女性对服务非常满意的概率为3060=12，
男性对服务非常满意的概率为4060=23，故 X=0,1,2，
P(X=0)=(1−12)×(1−23)=16，
P(X=1)=(1−12)×23+12×(1−23)=12，
PX=2=12×23=13，
故 X 的分布列为：
故 EX=0×16+1×12+2×13=76．
16.解：(1)因为AF2⊥F1F2且A(2, 33)，所以焦点F2(2,0)，即c=2，
故c=2 b2a= 33，解得a2+b2=49b2=3a2，即a2=3b2=1，
所以双曲线C:x23−y2=1．
(2)根据题意过F2(2,0)的直线斜率为0显然不满足题意，
故设过F2(2,0)的直线为x=my+2(m>0)，
由x=my+2x23−y2=1⇒(m2−3)y2+4my+1=0,
Δ=(4m)2−4×(m2−3)=12(m2+1)>0，且m≠ 3，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则由韦达定理有
y1+y2=−4mm2−3，y1y2=1m2−3，
因为S△F1RM=S△ARN，所以S△F1NM=S△ANM，
即点F1(−2,0)和点A(2, 33)到直线x=my+2的距离相等，
则有d=|−4| 1+m2=− 33m 1+m2，解得m=4 3，
所以|MN|= 1+m2|y1−y2|= 1+m2 (y1+y2)2−4y1y2=2 3(m2+1)|m2−3|，
所以|MN|=2 3(m2+1)|m2−3|=98 345．
17.解：(1)因为sinC=3sinB，所以AB=3AC，
在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，
在△ACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，
因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，
又∠ADB+∠ADC=π，所以ABAC=BDDC，
因为AB=3AC，且DC=2，所以BD=6．
所以BC=8．
(2)由S△ABC=S△ABD+S△ADC，
得12AB⋅ACsin∠BAC=12AB⋅ADsin∠BAC2+12AD⋅ACsin∠BAC2，
又AB=3AC，AD=kAC，整理得k=32cs∠BAC2，
因为cs∠BAC2∈(0,1)，所以k∈(0,32).
(3)由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcs∠BAC=AC2(10−6cs∠BAC)，
因为S△ABC=32，所以12AB⋅ACsin∠BAC=32，又AB=3AC，
则AC2=1sin∠BAC，
故BC 2=2sin∠BAC5−3cs∠BAC=2·5−3cs∠BACsin∠BAC，
记y=5−3cs∠BACsin∠BAC，
则ysin∠BAC+3cs∠BAC=5，
所以 y2+9sin(∠BAC+φ)=5(其中tanφ=3y).
故当∠BAC+φ=π2时，y取得最小值4，
此时cs∠BAC=cs(π2−φ)=sinφ=35，
又由(2)知k=32cs∠BAC2，
而cs∠BAC=2cs2∠BAC2−1，则cs∠BAC2=2 55，
故k=32×2 55=3 55，即当k=3 55时，BC最短．
18.解：(1)因为四边形ABCD为直角梯形，所以CD/​/AB，
因为CD⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，所以CD/​/平面ABE，
同理可得DF//平面ABE，
因为CD，DF⊂平面CDF，CD∩DF=D，所以平面CDF//平面ABE ① ，
又在梯形ABCD中，延长AD，BC交于点H，
∵H∈BC，BC⊂平面BEFC，∴H∈平面BEFC，同理H∈平面AEFD，
又∵平面BEFC∩平面AEFD=EF，∴H∈EF，
故直线EF，BC，AD相交于点H， ②，
故由 ① ②可知：多面体ABCDEF是三棱台;
(2) 设AB=2BC=2CD=2，则BD=DE= 2，
又∵∠EAB=π3，∴AB=AE=EB=2，
由ED2+BD2=EB2，得DE⊥BD．
又∵DE⊥AD，BD∩AD=D，BD、AD⊂面ABCD，∴DE⊥面ABCD，
过点D作DG⊥AB交AB于点G，故DC，DG，DE两两互相垂直．
分别以DC，DG，DE为x轴、y轴、z轴建系．
则D(0,0,0)，A(−1,1,0)，B(1,1,0)E(0,0, 2)，
故AD=(1,−1,0)，AE=(1,−1, 2)，AB=2,0,0，
设平面AEB的一个法向量为m=(x,y,z)，
由{m→⊥AE→m→⊥AB→⇒{m→·AE→=x−y+ 2z=0m→·AB→=2x=0,
取z=1，得y= 2，x=0，得m=(0, 2,1)，
设直线AD与平面AEB所成角为θ，
则sinθ=|cs|=AD·mADm= 2 2× 3= 33，
又因为平面AEB//平面CDF，
故直线AD与平面CDF所成角的正弦值为 33;
(3)取EB的中点P，连接PA，PH，
因为AB=2，所以BH=EH=2，即ΔHBE为等腰三角形，
故PH⊥EB，同理，AP⊥EB，
故∠APH就是二面角A−EB−C的平面角，
故cs∠APH=AP2+HP2−82AP×PH=−17，
解得AP=PH= 142，故BP=EP= 22，即BE= 2，
又因为BD=DE= 2，故△BDE为正三角形，
分别以DC，DG，DZ为x轴、y轴、z轴建系．
则D(0,0,0)，A(−1,1,0)，B(1,1,0)，E(12,12, 62)，
则AD=1,−1,0，AE=(32,−12, 62)，AB=2,0,0
设平面AEB的一个法向量为m1=(a,b,c)，
由{m1→⊥AE→m1→⊥AB→⇒{m1→·AE→=32a−12b+ 62c=0m1→·AB→=2a=0,
取b= 6，得a=0，c=1，得m1=(0, 6,1)
平面AEFD的一个法向量为n1=(p,q,s)，
由{n1→⊥AE→n1→⊥AD→⇒{n1→·AE→=32p−12q+ 62s=0n1→·AD→=p−q=0,
取p=1，得q=1，s=− 63，得n1=(1,1,− 63)
设平面AEFD与平面AEB的夹角为α，
则csα=|cs|=m1·n1m1n1=2 63 7×2 63= 77，
又由图像可知，平面AEFD与平面AEB的夹角为锐角，
故平面AEFD与平面AEB的夹角的余弦值为 77
19.解：(1)(i)当a=1，b=0时，f(x)=xsinx，x∈R，
因为f(−x)=−xsin(−x)=xsinx=f(x)，故f(x)是偶函数，
由f′(x)=sinx+xcsx，x∈[−π2,π2]，
当x∈[−π2,0)时，f′(x)