重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高一下学期月考(一)数学试卷（解析版）

这是一份重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高一下学期月考(一)数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. 1B. -1C. 0D.
【答案】B
【解析】，，
又，，即，
解得：.
故选：B.
2. 在中，点为上的点，且满足，记，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以M为BC的四等分点且靠近点C，
所以.
故选：A.
3. 已知向量、的夹角为，且满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，
所以，所以，
又，即，所以，所以，
所以，又，所以.
故选：B.
4. 已知，且是方程的两根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，
所以，
因为，又，
所以.
故选：C.
5. 近日重庆气温波动较大，假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】依题意，解得，
又，所以，所以，
所以，又，
所以，所以，所以，
又，所以，所以.
故选：A.
6. 为了得到函数的图象，只需将上所有点（ ）
A. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
B. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
C. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
D. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
【答案】D
【解析】因为，
所以要得到函数的图象，
只需将上所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位即可.
故选：D.
7. 在中，边上的高等于，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设边上的高为，为垂足，
所以，
因为，所以，所以，
设，那么，.
由勾股定理，，
又，
由余弦定理可知
.
故选：C.
8. 已知平行四边形满足，且.设平面内有一点满足 ，点的轨迹分别与、交于、两点.线段 上有一动点，上有一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，所以，又，
所以平行四边形为正方形，
如图建立平面直角坐标系，
则，，，
所以，，设，则，
因为，所以，
所以，所以，即点在上，
令可得，所以，令可得，所以，
作关于轴对称的点为，作关于轴对称的点为，
则，
所以，
当且仅当、、、四点共线时取等号，所以的最小值为.
故选：B.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（）
A. B.
C. 的夹角为D. 在上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】是夹角为的单位向量，，
对于，，同理可得，故错误；
对于，，故正确；
对于，因
又，，故C正确；
对于，
所以在上的投影向量为，故正确.
故选：．
10. 已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为B. 的最大值为 3
C. 关于对称D. 若，则
【答案】AC
【解析】因为，
对于A：的最小正周期，故A正确；
对于B：因为，所以的最大值为，故B错误；
对于C：因为，所以关于对称，故C正确；
对于D：因为，所以，
即，所以，所以，
所以，即，所以，
所以，
当时，当时，故D错误.
故选：AC.
11. 在锐角中，，点为所在平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 为三角形的重心
B. 为三角形的外心
C. 若，则的取值范围是
D. 若，则的取值范围是
【答案】BC
【解析】对于AB，如图取AC，BC中点为D，E，则，
，因，
则，，即 为BC，AC中垂线交点，
即一定为三角形 的外心，故A无法判断（正三角形重心，外心重合，但题目无条件能够判断三角形是否为正三角形），B正确；
对于CD，如图以为圆心，做出三角形的外接圆，因，则外接圆半径R满足：
，则，
又注意到为劣弧AC所对的圆周角，为弧对应的圆心角，则.
如图，延长AO，CO，交圆O于F，G，因为锐角三角形，
则外心O在三角形内部，则点B轨迹为劣弧FG（不包括F，G）.
注意到，则.
又，，
则，
因，则，故C正确，D错误.
故选：BC.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 在中，点为的中点，且，则实数_____.
【答案】
【解析】因为点为中点，
所以，
又，、不共线，所以.
13. 在中，点为边上一点且满足，若点为上一点且满足，则的最小值为_____.
【答案】
【解析】，，
，，
为上一点，
，，
当且仅当，等号成立.
解得或（舍），即等号成立，
的最小值为.
14. _____.
【答案】
【解析】
.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 设，，.
（1）若，求.
（2）若与共线，求与夹角的余弦值.
解：（1）当时，，，.
（2），又与共线，
，解得：，，
，
即与夹角的余弦值为.
16. 设.
（1）求的单调增区间；
（2）设，若在上无零点，求的取值范围.
解：（1）
，
令，解得，
的单调增区间为.
（2），
，
在上无零点，，解得.
17. 如图，在菱形中，，，、为线段上的两个动点(包含端点)，且.
（1）若、重合，求；
（2）求的取值范围.
解：（1）过点作于点，因为，，
则，所以，
则，所以，
如图建立平面直角坐标系，则，，，
当、重合时，，所以，，所以.
（2）设，则，
所以，，
所以，
所以当时，，当时，当时，
所以的取值范围为.
18. 已知函数，且的图象关于原点对称.
（1）求的解析式；
（2）将的图象向右移个单位，再将所得到图象的纵坐标变为原来的倍，得到的图象.已知关于的方程在内有2个不同的解，
（i）求的取值范围；
（ii）求.(用表示)
解：（1），
关于原点对称，，，
，
.
（2）（i），
，
其中，
.
且.
由正弦型函数性质可知，.
（ii）由对称性有：，，
，，
，
.
19. 已知，存在，使得成立，且的最小值为.
（1）求的值；
（2）若函数，
（i）求函数的值域；
（ii）若函数，求的最小值.
解：（1），，，，
存在，使得，，，
，即，.
（2）（i）由（1）知：，
令，则（其中，），，
，，解得：，
的值域为.
（ii）
，
，，
由（i）知：且，
在上单调递增，，
.