山东省聊城市2025届高三二模数学试卷（含答案）

这是一份山东省聊城市2025届高三二模数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x>1}，B=xx2−x≥0，则A∩B=
A. [0,2)B. (1,2]C. (1,2)D. (2,+∞)
2.复数z满足z3+i=i，其中i为虚数单位，则z对应的点在复平面的
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.为了研究某市高中生的脚长x(单位：cm)和身高y(单位：cm)的关系，市卫健委从该市随机抽取若干名高中生做调查，经统计，所调查数据的x=19.25，y=161，根据最小二乘法算得脚长和身高的经验回归方程为y=4x+a.已知被调查的某学生的脚长为25 cm，身高180 cm，则该样本点的残差为
A. 1 cmB. −1 cmC. 4 cmD. −4 cm
4.各项均为正数的等比数列an的前5项和为312，且3a3+4a1=a5，则a3=
A. 2B. 4C. 8D. 16
5.若1+ax2(1+x)4的展开式中x3的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为
A. 16B. 32C. 48D. 64
6.双曲线C的方程为x2−y2=λ(λ>0)，直线x−2y+3=0与双曲线左右两支分别交于A，B两点，与两条渐近线分别交于E，F两点，若E，F是线段AB的三等分点，则λ的值为
A. 4B. 8C. 12D. 24
7.函数f(x)定义域为R，且满足f(−x)=−f(x)，若y=f(x)−x+ex是偶函数，则不等式fxex−2+f2ex−x0，则
A. a+bb，则1a0,y0>0是该曲线上的一点，则( )
A. 当x0= 2时，y0取到最大值 B. x0的取值范围是(0,34]
C. 直线x+y=3是曲线的一条切线 D. 若x+y=t是曲线的渐近线，则t=−1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量X～N(3,σ2)，若P(X≤1)=0.2，则P(3≤X0，若∃x1，x2∈[0,π]x1≠x2，使得fx1+fx2=2，则ω的取值范围为__________．
14.过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”.若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”.函数y= 2x−x2与函数y=1+ex+1的“公法线”方程为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
周末双休，四个同学约好一起参加体验活动，有甲、乙两个体验项目可供选择，每人必须参加且只能参加一个项目．四人约定每人通过掷一次质地均匀的骰子来决定自己参加哪个体验项目，若掷出点数小于3，就体验甲项目，否则体验乙项目．
(1)求这4个人中恰有2人参加甲项目的概率；
(2)用X，Y分别表示这4个人中参加甲、乙项目的人数，记ξ=|X−Y|，求随机变量ξ的分布列及期望．
16.(本小题15分)
△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知cs(B−C)−csA=12，且a2=bc．
(1)证明：△ABC为等边三角形；
(2)如图，若△ABC边长为3，点E，F分别在边BC，BA上，将△BEF沿着线段EF对折，顶点B恰好落在边AC上的D点，当AD=2DC时，求重叠部分DEF的面积．
17.(本小题15分)
数列an是递增数列，其前n项和为Sn，且Sn=14an2+n，n∈N ​∗．
(1)求an，Sn；
(2)记Sn=f(n)，数列bn满足：b1=1，bn+1=fbn，数列11+bn的前n项积与前n项和分别记为An，Bn．
证明：(ⅰ)An=1bn+1； (ⅱ)An+Bn=1．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ln(x+2)−12ax2，a≤0．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个极值点，证明：f(x)有且只有一个零点．
19.(本小题17分)
如图，柱体上下底面是椭圆面，A′B′，AB分别是上下底面椭圆的长轴，C′D′，CD分别是上下底面椭圆的短轴，四边形ABB′A′和CDD′C′为矩形，O′，O分别为上下底面椭圆的长短轴的交点，AB= 2CD=2 2．M，N是下底面椭圆上两动点，MN不与AB平行或重合．
(1)证明：OO′⊥平面ADBC；
(2)若△OMB′面积为定值，求OO′的长度；
(3)在(2)的条件下，当平面OMB′⊥平面ONB′时，求点O到直线MN的距离的取值范围．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.A
5.C
6.D
7.B
8.D
9.BC
10.ACD
11.BCD
12.0.3
13.[136,+∞)
14.x+y−1=0
15.解：(1)依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，
去参加乙游戏的人数的概率为23．
设“这4个人中恰有2人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4)，
P(Ai)=C4i(13)i(23)4−i．
这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)=C42(13)2(23)2=827．
(2)ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，
故P(ξ=0)=P(A2)=827，
P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=4081，
P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=1781，
∴ξ的分布列是
数学期望E(ξ)=0×827+2×4081+4×1781=14881．
16.解：(1)由cs(B−C)−csA=12，得cs(B−C)+cs(B+C)=12，展开得csBcsC=14．①
由a2=bc可得sinBsinC=sin2A. ②
①− ②得14−sin2A=csBcsC−sinBsinC=cs(B+C)=−csA，
因为sin2A+cs2A=1，所以4cs2A+4csA−3−0，解得csA=12或csA=−32(舍去).又00，即a∈(−∞,−1)时，g(x)有两个零点：
x1=−a+ a1+aa，x2=−a− a2+aa，且x2>x1>−2．
x∈(−2,x1)和(x2,+∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增;
当x∈(x1,x2)时，g(x)0．
由韦达定理得x1+x2−2kmk2+2,x1x2=m2−2k2+2,
所以y1y2+2x1x2=(kx1+m)(kx2+m)+2x1x2=(k2+2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
化简得k2−2m2+2=0．
所以点O到直线MN的距离为d′=|m| 1+k2，则d′2=m21+k2=12(1+1k2+1)∈(12,1]，
所以d′∈( 22,1].故点O到直线MN的距离的取值范围为( 22,1]． ξ
0
2
4
P
827
4081
1781