河北省唐山市2025届高三下学期第二次模拟演练数学试卷（含答案）

这是一份河北省唐山市2025届高三下学期第二次模拟演练数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|1b>0)的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，与直线AF2垂直的直线交C于M，N两点，当△F1MN的周长最大时，F1M⊥F1N，则C的离心率为( )
A. 23B. 63C. 13D. 33
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，最小正周期为π，且在(0,π4)上单调递减的有( )
A. y=sinxB. y=cs(2x+π4)
C. y=cs4x−sin4xD. y=sin(2x+π4)
10.已知i为虚数单位，复数z1=1−i，z2=a+bi(a,b∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 若z1+z2=0，则a=−1且b=1
B. 若z1⋅z2∈R，则a+b=0
C. 若z22=−1，则a=0且b=1
D. 若|z1−z2|= 2，则|z2|的最大值为2 2
11.已知函数y=f(x)的图象连续且定义域为R，f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，若f(x)不是常数函数，则下列说法正确的是( )
A. f(0)=2B. f(x)≥−2C. f(x)为周期函数D. f(x)为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如下图，若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为 ．
13.已知向量a，b满足|a|=1，|b|= 3，a⋅b=1，则|a−2b|= ．
14.已知△ABC的面积为S，M，N分别为边AB，AC的中点，设P=SBN2+CM2，则P取得最大值时，cs∠BAC= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=4，AC=AA1=2，M，N，P分别是AB，B1C1，BB1的中点．
(1)证明：PN//平面A1CM;
(2)求直线MP与平面A1CM所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
已知x1=1，x2=2是函数f(x)=12x2+ax+blnx的两个极值点．
(1)求a，b的值;
(2)若曲线y=f(x)在点T(t,f(t))处的切线为l，设直线l在y轴上的截距为g(t)，求y=g(t)的最大值．
17.(本小题15分)
若数列{an}满足对任意n∈N∗，2an+1>an+2+an成立，则称数列{an}为严格上凸数列．
(1)若an=−n2，证明：数列{an}是严格上凸数列;
(2)若数列{bn}为严格上凸数列，且bn=n3−λ⋅2n，求λ的取值范围．
18.(本小题17分)
某学术平台引入AI智能检测系统对所收到的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收到的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y(分).y与文本长度x(字)可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为y=bx+0.95，且x=480，y=0.35.已知该平台中15%的文本由AI生成．
(1)求回归系数b;
(2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率(精确到0.001);
(3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表(篇数四舍五入取整数):
依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异?
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
提示：χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值
19.(本小题17分)
已知曲线C:x2a−4−y2a+4=1．
(1)曲线C是否可以是圆、双曲线?若可以，请求出对应a的取值范围;
(2)若曲线C过点M(−4,−6)，且与x轴的正半轴交于点N．
(ⅰ)求曲线C的方程;
(ⅱ)不经过M的直线l:x+2y+m=0与曲线C相交于两点A，B，射线MN平分∠AMB，求m的值．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.B
5.A
6.D
7.A
8.D
9.BC
10.ABD
11.ABD
12.23
13.3
14.45
15.解：(1)证明：以点A为原点，AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，

易得A1(0,0,2)，C(2,0,0)，M(0,2,0)，N(1,2,2)，P(0,4,1)．
所以PN=(1,−2,1)，A1C=(2,0,−2)，A1M=(0,2,−2)．
设平面A1CM的法向量n=(x,y,z)，
则A1C⋅n=0A1M⋅n=0⇒2x−2z=02y−2z=0 ，令x=1得n=(1,1,1)．
计算可得PN⋅n=0，所以PN⊥n．
又因为PN⊄平面A1CM，所以PN//平面A1CM．
(2)由(1)知平面A1CM的法向量n=(1,1,1)，MP=(0,2,1).
设直线MP与平面A1CM所成的角为θ，
则sinθ=|csMP,n|=|MP⋅n||MP|⋅|n|= 155．
故直线MP与平面A1CM所成角的正弦值为 155．
16.解：(1)f(x)=12x2+ax+blnx，f′(x)=x+a+bx=x2+ax+bx，x>0．
依题意，1，2为f′(x)=0的根，即1，2为方程x2+ax+b=0的根，
所以1+2=−a，1×2=b，因此a=−3，b=2，
经检验1，2是函数的极值点．
(2)由(1)得f(x)=12x2−3x+2lnx，f′(x)=x2−3x+2x，
所以直线l的方程为y=t2−3t+2t(x−t)+12t2−3t+2lnt.
即g(t)=−12t2+2lnt−2，t>0，g′(t)=−t+2t，
当00，g(t)单调递增;当t> 2时，g′(t)0，，
所以2an+1>an+2+an.因此数列{an}是严格上凸数列．
(2)解：数列{bn}为严格上凸数列，且bn=n3−λ⋅2n，所以2bn+1>bn+2+bn，
即2[(n+1)3−λ⋅2n+1]>(n+2)3−λ⋅2n+2+n3−λ⋅2n，整理得λ>3n+32n−1．
令pn=3n+32n−1，则pn+1−pn=−3n2n6.635=α0.01，
故依据小概率值α=0.01的X独立性检验，可以判断“检测结果”与“文本其实性”有差异．
19.19.解：(1)若曲线C为圆，则a−4=−(a+4)>0，无解，故曲线C不能为圆;
若曲线C为双曲线，则(a−4)(a+4)>0，解得a>4或a