2024年高考押题预测数学试题（新高考卷01，新题型结构） 含解析

这是一份2024年高考押题预测数学试题（新高考卷01，新题型结构） 含解析，共22页。
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设数列的前项之积为，满足（），则（ ）
A．B．C．D．
3．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A．12B．13C．14D．15
4．已知点在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知，则（ ）
A． B． C．D．
8．已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，则下列命题一定成立的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
10．已知，下列结论正确的是（ ）
A．若的最小正周期为，则
B．若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则
C．若在上恰有4个极值点，则的取值范围为
D．存在，使得在上单调递减
11．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）
A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为
C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中的系数为 ．
13．已知高为2的圆锥内接于球O，球O的体积为，设圆锥顶点为P，平面为经过圆锥顶点的平面，且与直线所成角为，设平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，，则 .
14．已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则 ；当取最小值时，的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
如图，在平面四边形ABCD中，，．

(1)若，，求的值；
(2)若，，求四边形ABCD的面积．
16．（15分）已知函数．
(1)若，求函数在上的最大值和最小值；
(2)讨论函数的单调性．
17．（15分）
2023年12月2日，中央广播电视总台甲辰龙年春晚的主标识正式发布，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想＋艺术＋技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴．为了解大家对“龘”这个字的认知情况，某网站进行了调查，并对每一类情况赋予相应的认知度分值，得到如下表格：
(1)求参与调查的人员认知度分值的平均数与方差；
(2)为了帮助大家记住这个主题，该网站设计了一个有奖游戏，参与者点击游戏按钮，“龙行龘龘，欣欣家国”这8个字将进行随机排列，若相同的字分别相邻（即龘与龘相邻，欣与欣相邻），则这个参与者可以获得奖励，已知每个参与者是否获得奖励互不影响，若2人同时参与游戏，求恰好有1人获得奖励的概率；
(3)若从参与调查的人员中按照分层抽样的方法抽取20人进行座谈，再从这20人中随机选取3人赠送小礼品，这3人中属于D类的人数记为X，求X的分布列及数学期望．
18．（17分）
已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且．
(1)求证：平面平面；
(2)已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
19．（17分）
类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面，这说明椭球完全包含在由平面所围成的长方体内，其中按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面的截痕是椭圆.
(1)已知椭圆在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点，求面积的最小值．
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当时，椭球面围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积．
2024年高考押题预测卷01【新高考卷】
数学·全解全析
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，得，即，
，得，即，，
所以.
故选：B
2．设数列的前项之积为，满足（），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，即，所以，
所以，显然，
所以，
所以数列是首项为，公差为2的等差数列，
所以，
即，所以．
故选：C．
3．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A．12B．13C．14D．15
【答案】D
【详解】由题意知，，
当时，，故，解得，
所以．
由，得，即，
得，又，
所以，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．
故选：D
4．已知点在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】
如图，不妨设点在第一象限，依题知是的中位线，可知，过向准线做垂线，垂足分别为，
同理是的中位线，，由抛物线定义知，故得，
又，则点横坐标是，代入可得其纵坐标为，故.
故选：C．
5．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对，因为，则，即函数在单调递减，
且时，，则，即，所以，
因为且，所以，
又，所以.
故选：B
6．设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由等差数列的公差为，得，则，
当时，，而，则，因此，为递增数列；
当为递增数列时，则，即有，整理得，不能推出，
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
7．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：因为，
所以，
两式相加得：，即，
化简得，
所以，
故选：A
8．已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由题意，令，
若恒成立，易知：当时，当时，
所以是的极小值点，不合题意，故有两个不同零点．
设的两个零点分别为，则，
结合三次函数的图象与性质知： ，
在、上，单调递减，在、上，单调递增，是的极大值点，符合题意，
此时需，得，所以实数的取值范围为．
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，则下列命题一定成立的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
【答案】AC
【分析】根据共轭复数的概念和复数的四则运算，结合复数模的计算及性质，逐项判断即可.
【详解】设，则.
对于A：，
若，则，
所以，即，故A一定成立；
对于B：，若，则①，
，同理，
若，则需满足且，与①式不同，故B不一定成立；
选项C：，
，
所以，故C一定成立；
选项D：②，
，与②式不同，故D不一定成立.
故选：AC
10．已知，下列结论正确的是（ ）
A．若的最小正周期为，则
B．若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则
C．若在上恰有4个极值点，则的取值范围为
D．存在，使得在上单调递减
【答案】ABC
【详解】由，
对于A，若的最小正周期为，则，故A正确；
对于B，若的图象向左平移个单位长度后得，其图象关于纵轴对称，
则有，显然，故B正确；
对于C，，
根据题意有，故C正确；
对于D，，
显然，，即该区间为包含的连续区间，
根据正弦函数的单调性可知：该区间不可能单调递减，故D错误.
故选：ABC
11．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）

A．该正八面体结构的表面积为B．该正八面体结构的体积为
C．该正八面体结构的外接球表面积为D．该正八面体结构的内切球表面积为
【答案】ACD
【详解】
对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，
故该正八面体结构的表面积，故A正确；
对B：连接，则，底面，
故该正八面体结构的体积，故B错误；
对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径，
故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；
对D：该正八面体结构的内切球半径，
故内切球的表面积，故D正确；
故选：ACD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中的系数为 ．
【答案】
【详解】
二项式的展开式通项公式为，
当时，，当时，，
因此展开式中含的项为，故所求系数为.
故答案为：24.
13．已知高为2的圆锥内接于球O，球O的体积为，设圆锥顶点为P，平面为经过圆锥顶点的平面，且与直线所成角为，设平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，，则 .
【答案】
【详解】令球半径为，则，解得，由平面与直线成角，
得平面截球所得小圆半径，因此，
由球的内接圆锥高为2，得球心到此圆锥底面距离，则圆锥底面圆半径，
令平面截圆锥所得截面为等腰，线段为圆锥底面圆的弦，
点为弦中点，如图，依题意，，，
，显然，于是，
所以.
故答案为：
14．已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则 ；当取最小值时，的面积为 ．
【答案】
【详解】设，则，可得，
又因为分别为双曲线的左右顶点，可得，
所以；
又由，所以，
当且仅当时，等号成立，所以，解得，
所以，所以，
所以的面积为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．如图，在平面四边形ABCD中，，．

(1)若，，求的值；
(2)若，，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）在中，，，则，
，
在中，由正弦定理得，
.
（2）在和中，由余弦定理得
，
，
得，又，得，
则，，
四边形ABCD的面积
.
16．已知函数．
(1)若，求函数在上的最大值和最小值；
(2)讨论函数的单调性．
【答案】(1)最大值为，最小值为；(2)答案见解析.
【详解】（1）当时，，则，
令，得或，
由于，
所以当，，在单调递减，
所以当，，在单调递增，
所以在时取到极小值，且，
又因为，，
综上，函数在上的最大值为，最小值为.
（2）因为，所以，
当，即时，，
在单调递增，
当，即时，
令，则，
所以当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增.
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
17．2023年12月2日，中央广播电视总台甲辰龙年春晚的主标识正式发布，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想＋艺术＋技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴．为了解大家对“龘”这个字的认知情况，某网站进行了调查，并对每一类情况赋予相应的认知度分值，得到如下表格：
(1)求参与调查的人员认知度分值的平均数与方差；
(2)为了帮助大家记住这个主题，该网站设计了一个有奖游戏，参与者点击游戏按钮，“龙行龘龘，欣欣家国”这8个字将进行随机排列，若相同的字分别相邻（即龘与龘相邻，欣与欣相邻），则这个参与者可以获得奖励，已知每个参与者是否获得奖励互不影响，若2人同时参与游戏，求恰好有1人获得奖励的概率；
(3)若从参与调查的人员中按照分层抽样的方法抽取20人进行座谈，再从这20人中随机选取3人赠送小礼品，这3人中属于D类的人数记为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)71，209(2)(3)分布列见解析，
【详解】（1）参与调查的人员认知度分值的平均数为
，
方差为．
（2）将这8个字随机排列，不同的排列方法有种，
相同的字分别相邻的不同情况有种，
故参与者可以获得奖励的概率．
若2人同时参与游戏，则恰好有1人获奖的概率为．
（3）根据分层抽样的规则可知，A类抽取4人，B类抽取12人，C类抽取2人，D类抽取2人，则X的所有可能取值为0，1，2，则，，，
∴X的分布列为
∴X的数学期望为．
18．已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且．
(1)求证：平面平面；
(2)已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）不妨设，
因为平面平面，故，
在中，，
由余弦定理，，
得，故，则，
因为平面，所以平面，
而平面，所以平面平面；
（2）由（1）知，两两垂直，
如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，
则，
故，
，所以，
设，则，即，
所以；
设为平面的一个法向量，
则，
令，则，所以，
因为轴平面，则可取为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，故．
19．人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面，这说明椭球完全包含在由平面所围成的长方体内，其中按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面的截痕是椭圆.
(1)已知椭圆在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点，求面积的最小值．
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当时，椭球面围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）椭圆的标准方程为，则．
当直线的倾斜角为时，分别为椭圆的左、右顶点，此时两切线平行无交点，不符合题意，
所以直线的倾斜角不为,
设直线,
由,得，
则，
所以
,
又椭圆在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，
由，得，
代入，得，所以，
则点到直线的距离，
所以，
设，则，
令，则，所以在上单调递增，
所以当，即时，的面积最小，最小值是；
（2）椭圆的焦点在轴上，长半轴长为，短半轴长为1，
椭球由椭圆及其内部绕轴旋转而成旋转体，
构造一个底面半径为1，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，
圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，
当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为时，设小圆锥底面半径为，
则，即，所以新几何体的截面面积为，
把代入，得，解得，
所以半椭球的截面面积为，
由祖暅原理，得椭球的体积.
认知情况
A类：不会读不会写
B类：会读不会写
C类：会读且会写但不理解
D类：会读、会写且理解
人数/万人
10
30
5
5
认知度分值
50
70
90
100
认知情况
A类：不会读不会写
B类：会读不会写
C类：会读且会写但不理解
D类：会读、会写且理解
人数/万人
10
30
5
5
认知度分值
50
70
90
100
X
0
1
2
P