2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题（五）【含答案】

这是一份2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题（五）【含答案】，共9页。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an1+an，设bn=1an，则数列{bn}的前n项和Sn的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2 D. 3
3.已知a→=1,2，b→=−2,3，若ma→+b→⊥a→−b→，则实数m的值为（ ）
A.−35 B. 35 C. −53 D. 53
4.若双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线与圆x−32+y2=9相切，则此双曲线的离心率为（ ）
A. 324 B. 334 C. 354 D. 364
5.已知函数fx=x3+ax2+bx+c，且0b>0的离心率为22，且过点2,1。
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设P是椭圆C上的动点，M，N是椭圆C上的两个动点，且满足OM→+ON→=2OP→，证明：直线MN的斜率为定值。
19．在空间直角坐标系O−xyz中，对于向量a→=x1,y1,z1和b→=x2,y2,z2，定义一种新运算a→⊗b→=x1x2+y1y2+z1z2,x1y2−x2y1,y1z2−y2z1。
（1)已知a→=1,2,3，b→=−1,1,0，求a→⊗b→。
(2)设m→=x,y,z，n→=1,1,1，若m→⊗n→=3,−1,1，求x,y,z的值。
(3)对于任意向量a→，b→，c→，证明：a→⊗b→⊗c→=a→⊗b→⊗c→不恒成立。
参考答案
12．
13.10
14.57
15.(1) 将2asinC+π6=b+c展开，2asinCcsπ6+csCsinπ6=b+c，即2a32sinC+12csC=b+c，3asinC+acsC=b+c。
由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R（R为△ABC外接圆半径），得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入上式得：
3×2RsinAsinC+2RsinAcsC=2RsinB+2RsinC，即3sinAsinC+sinAcsC=sinB+sinC。
因为A+B+C=π，所以B=π−A+C，则sinB=sinπ−A+C=sinA+C=sinAcsC+csAsinC。
所以3sinAsinC+sinAcsC=sinAcsC+csAsinC+sinC，移项可得3sinAsinC=csAsinC+sinC。
因为C∈0,π，所以sinC≠0，等式两边同时除以sinC得3sinA=csA+1，即3sinA−csA=1，232sinA−12csA=1，2sinAcsπ6−csAsinπ6=1，2sinA−π6=1，sinA−π6=12。
又A∈0,π，所以A−π6∈−π6,5π6，则A−π6=π6，A=π3。
(2) 因为BA→⋅AC→=−3，即bccsπ−A=−3，又A=π3，所以bccsπ−π3=−3，bccs2π3=−3，−12bc=−3，bc=6。
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，把a=7，A=π3代入得7=b2+c2−bc=b+c2−3bc=b+c2−18，则b+c2=25，b+c=5。
设△ABT和△ACT的面积分别为S1，S2，因为AT为角A的平分线，所以S1S2=ABAC=cb。
又S1=12AB⋅AT⋅sinA2，S2=12AC⋅AT⋅sinA2，且S△ABC=12bcsinA=12×6×32=332，S△ABC=S1+S2。
所以S1S2=cb=12c⋅AT⋅sinπ612b⋅AT⋅sinπ6，即cb=S1S2。
S△ABC=12b+c⋅AT⋅sinA2，即332=12×5×AT×sinπ6，332=54AT，解得AT=635。
16．(1) 当n=1时，S1=2a1−1，即a1=2a1−1，解得a1=1。
当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，又Sn=2an−1，两式相减得an=2an−2an−1，即an=2an−1。
所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，通项公式为an=2n−1。
(2) 由 (1) 知Sn=1−2n1−2=2n−1，则bn=anSn⋅Sn+1=2n−12n−12n+1−1=1212n−1−12n+1−1。
所以Tn=b1+b2+⋯+bn=12[1−13+13−17+⋯+12n−1−12n+1−1]=121−12n+1−1=2n−122n+1−1。
17．（1)当时，，则函数在点处的切线的斜率为.又，故函数在点处的切线方程为即.
（2）由可得，即.
因为，所以.
令，则.
令则（8分）
因为，所以，
所以在上单调递增，则，
所以，
即实数的取值范围.
18． (1) 由离心率e=ca=22，可得c=22a，又a2=b2+c2，所以a2=b2+12a2，即a2=2b2。
椭圆过点2,1，则22a2+12b2=1，将a2=2b2代入得22b2+1b2=1，解得b2=2，则a2=4。
所以椭圆C的方程为x24+y22=1。
(2) 设Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2。
因为OM→+ON→=2OP→，所以x1+x2,y1+y2=2x0,y0，即x1+x2=2x0，y1+y2=2y0。
又M，N在椭圆上，所以x124+y122=1，x224+y222=1。
两式相减得：x1+x2x1−x24+y1+y2y1−y22=0，将x1+x2=2x0，y1+y2=2y0代入得：2x0x1−x24+2y0y1−y22=0，整理得y1−y2x1−x2=−x02y0，所以直线MN的斜率为定值−x02y0。
19．已知a→=1,2,3，b→=−1,1,0。
根据运算a→⊗b→=x1x2+y1y2+z1z2,x1y2−x2y1,y1z2−y2z1。
则a→⊗b→=[1×−1+2×1+3×0,1×1−−1×2,2×0−1×3]=−1+2+0,1+2,0−3=1,3,−3。
因为m→=x,y,z，n→=1,1,1，m→⊗n→=3,−1,1。
由定义可得x×1+y×1+z×1=3x×1−1×y=−1y×1−1×z=1，即x+y+z=3x−y=−1y−z=1。
由x−y=−1得x=y−1，由y−z=1得z=y−1。
将x=y−1，z=y−1代入x+y+z=3得y−1+y+y−1=3，3y−2=3，3y=5，y=53。
则x=y−1=53−1=23，z=y−1=53−1=23。
所以x=23，y=53，z=23。
设a→=x1,y1,z1，b→=x2,y2,z2，c→=x3,y3,z3。
先计算a→⊗b→⊗c→：a→⊗b→=x1x2+y1y2+z1z2,x1y2−x2y1,y1z2−y2z1。
则a→⊗b→⊗c→=x1x2+y1y2+z1z2x3+x1y2−x2y1y3+y1z2−y2z1z3,x1x2+y1y2+z1z2y3−x3x1y2−x2y1,x1y2−x2y1z3−x3y1z2−y2z1。
再计算a→⊗b→⊗c→：b→⊗c→=x2x3+y2y3+z2z3,x2y3−x3y2,y2z3−y3z2。
则a→⊗b→⊗c→=x1x2x3+y2y3+z2z3+y1x2y3−x3y2+z1y2z3−y3z2,x1x2y3−x3y2−y1x2x3+y2y3+z2z3,y1y2z3−y3z2−z1x2x3+y2y3+z2z3。
令a→=1,0,0，b→=0,1,0，c→=0,0,1。a→⊗b→=1×0+0×1+0×0,1×1−0×0,0×0−1×0=0,1,0。a→⊗b→⊗c→=0×0+1×0+0×1,0×0−0×1,1×1−0×0=0,0,1。b→⊗c→=0×0+1×0+0×1,0×0−0×1,1×1−0×0=0,0,1。a→⊗b→⊗c→=1×0+0×0+0×1,1×0−0×0,0×1−0×0=0,0,0。
此时a→⊗b→⊗c→≠a→⊗b→⊗c→，所以a→⊗b→⊗c→=a→⊗b→⊗c→不恒成立。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
A
A
A
C
D
AC
AD
题号
11









答案
AB