2024-2025学年重庆市九龙坡区高二数学下学期第一次月考检测试题（含答案)

这是一份2024-2025学年重庆市九龙坡区高二数学下学期第一次月考检测试题（含答案)，共16页。
1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数概念解出即可.
【详解】依题意可知切点，
函数的图象在点处的切线方程是，
，即
又
即
故选：D.
2. 丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出．
【详解】对A，，当时，，所以A错误；
对B，，在上恒成立，所以B正确；
对C，，，所以C错误；
对D，，，因为，所以D错误．
故选：B．
3. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的运算法则求出函数的导函数，再代入求值即可.
【详解】解：因为，
所以，所以，
解得；
故选：B
4. 若函数的极值点是1，则（）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】求导，利用求得，进而求出.
【详解】因为，
所以
，
由题意，得，即，
解得，即，
则.
故选：B.
5. 已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，根据题意可得在为单调递减函数，进而即得.
【详解】因为可化为，
令，则，
因为，
所以，所以在上单调递减，
因为，所以，
所以，
所以，即不等式的解集为．
故选：A．
6. 函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数在上单调递增，可得在上恒成立，然后利用分离参数法即可求解.
【详解】因为，所以.
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，即，即可
令，则
由函数单调性的性质知，在上减函数，
，即.
所以实数的取值范围为。
故选：A.
7. 已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则
A. 或2B. 或3C. 或1D. 或1
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数判断函数的单调性求出极值点为，利用或可得结果.
【详解】因为,所以f(x)的增区间为,减区间为,所以的极大值为，极小值为，因为函数的图象与轴恰有两个公共点,所以只须满足或，即或,故选A.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为，极小值为：一个零点或；两个零点或；三个零点且.
8. 若曲线与曲线：=有公切线，则实数的最大值为（）
A. +B. -C. +D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程，可得，整理得，利用导数研究函数的单调性求出即可得出结果.
【详解】设在曲线上的切点为，则切线斜率为，
在曲线上的切点为，切线斜率为，
所以切线方程分别为、，
即、，
有，整理得，
设，则，
令，令，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上，如图，
由图可知，即k的最大值为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列求函数的导数正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用复合函数的求导法则可判断各选项的正误.
【详解】，，，
，
故选：AC.
10. 函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）
A. B. 是的极小值点
C. 函数在上有极大值D. 是的极大值点
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数极值的定义，结合导数的性质和导函数的图象逐一判断即可.
【详解】由的图象可知：当时，，所以函数单调递增；
当时，，所以函数单调递减，因此有，是的极大值点，所以选项A、D正确；
当，或时，，所以函数单调递增，因此函数在上没有极大值，且不是的极小值点，所以选项B、C不正确，
故选：AD
11. 已知函数，则（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】计算得函数解析式，计算判断A，求导数确定函数的单调性得最值判断B，计算，判断正负后可判断C，利用可判断D．
【详解】因为，所以，所以，所以，所以A正确．
因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，所以B正确．
因，所以，所以C错误．
因为，所以，所以，所以D正确．
故选：ABD．
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，）
12. 函数的图象在点处的切线方程的斜率为______．
【答案】
【解析】
【分析】求导后借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】，则.
故答案为：.
13. 函数的单调增区间为_________.
【答案】，
【解析】
【分析】根据导数与单调性的关系，由即可求出单调增区间．
【详解】因为函数的定义域为，而，所以函数的单调增区间为，．
故答案为：，．
14. 记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”. 已知：，若函数与存在“点”，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】分别求出，，然后根据“点”的定义，列出方程，构造，通过导数求出即可.
【详解】函数与，则与，
由题意得，则，令，
则，令，则，所以时，则，故单调递增；时，则，故单调递减；
所以在处取得极小值，也是最小值，，且时，，所以实数的取值范围为
故答案为:
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求下列函数的最值：
（1），；
（2），．
【答案】（1）最大值为，最小值为；
（2）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）先将函数化成正弦型函数，再根据定义域求出最值；
（2）通过对函数求导，研究函数单调性，从而求出最值.
【小问1详解】
，
因为，所以
故当，即时，函数的最大值为；
当，即时，函数的最小值为.
【小问2详解】
，
由得（舍）或
当时，，所以函数在单调递增，
当时，，所以函数在单调递减.
故.
又，，
所以.
16. 设函数.
（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（2）求函数的单调区间与极值点.
【答案】（1）
（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）已知函数的解析式，把点代入，再根据在点处与直线相切，求出，的值；
（2）由题意先对函数进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间.
【小问1详解】
，
曲线在点处与直线相切，
，
∴
【小问2详解】
，
当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点．
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
即函数的增区间为，，减区间为；
此时是的极大值点，是的极小值点．
17. 已知函数的图象经过点．
（1）求曲线在点A处的切线方程．
（2）曲线是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）设出过坐标原点的切线方程以及切点坐标，利用导数的几何意义以及切点既在切线上也在曲线上列出方程组求解即可.
【小问1详解】
依题意可得，则,
∵，∴，
∴曲线在点（1，5）处的切线方程为，
即；
【小问2详解】
设过原点的切线方程为，则切点为，
则,消去k，整理得，
解得或，
所以曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或．
18. 已知函数（为自然对数的底数）．
（1）讨论的单调性；
（2）若，当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论导数值正负即可作答.
（2）将给定的不等式等价变形，构造函数并借助导数结合函数单调性求解作答.
【小问1详解】
函数的定义域为R，求导得：，
若，则，即在上是增函数；
若，由得，由得，即函数在上递减，在上递增，
所以当时，函数在上是增函数；当时，函数递减区间是，递增区间是.
【小问2详解】
当时，，，
令，依题意，当时，恒成立，即函数在上单调递增，
因此，，即恒成立，令，
求导得：，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，则，即，
所以实数的取值范围为.
19. 关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”.
（1）证明：有唯一零点，且；
（2）现在，我们任取(1,a)开始，实施如下步骤：
在处作曲线的切线，交轴于点；
在处作曲线的切线，交轴于点；
……
在处作曲线的切线，交轴于点；
可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值.
（i）设，求的解析式(用表示)；
（ii）证明：当，总有.
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性，结合零点存在性定理证明即可；
（2）（i）由导数的几何意义得曲线在处的切线方程为，进而得；
（ii）令，进而构造函数，结合函数单调性证明，再根据证明即可得答案.
【小问1详解】
证明：，定义域为，
所以，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且.
【小问2详解】
解：（i）由（1）知，
所以，曲线在处的切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为，即
令得
所以，切线与轴的交点，即，
所以，.
(ii)对任意的，由（i）知，曲线在处的切线方程为：
，故令，
令
所以，，
所以，当时，单调递增，当时，单调递减；
所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立，
另一方面，由（i）知，，且当时，，
（若，则，故任意，显然矛盾）
因为是的零点，
所以
因为为单调递增函数，
所以，对任意的时，总有
又因为，
所以，对于任意，均有，
所以，
所以，
综上，当，总有
【点睛】本题考查利用导数的几何意义，不等式的证明，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于结合切线方程，构造函数，进而结合函数的单调性证明不等式.