浙江省丽水市发展共同体2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析）

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考生须知：
1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 展开后，共有多少项？（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据多项式的乘法运算法则即可求解.
【详解】根据多项式的乘法运算法则分两步，
第一步，在第一个因式中选一项，有种方法；
第二步，在第二个因式中选一项，有种方法；
根据乘法分步原理可得，展开后共有项，
故选：.
2. 若，则（ ）
A 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合数的公式运算求解.
【详解】因为，整理得，解得：或，
因为，所以.
故选：C.
3. 已知变量与的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型根据最小二乘法，计算得经验回归方程为，若，，则（ ）
A. 6.6B. 5C. 1D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据样本中心在回归直线上求解.
【详解】因为经验回归方程为，且，，
所以，
故选：C
4. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正态分布的性质计算可得.
【详解】因为，所以，
又，所以.
故选：C
5. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中概率为0.8.那么他罚球1次的得分的均值是（ ）
A. 0.2B. 0.8C. 0.16D. 0.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据期望公式计算可得.
【详解】依题意可得，，
所以.
故选：B
6. 我校在本年度“绿谷之春”比赛中喜获佳绩，共有10位同学（每人一幅作品）获奖，其中一等奖3人，二等奖7人，校团委决定举办优秀作品展，现采取抽签方式决定作品展出顺序，则荣获一等奖的3名同学的作品在前5顺位全部被展出的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用组合计数问题，结合古典概率公式求解.
【详解】前5顺位展出的作品有个基本事件，
其中一等奖的3名同学在前5顺位全部被展出有个基本事件，
所以所求概率.
故选：A
7. 唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为（ ）
A. 360B. 180C. 90D. 60
【答案】D
【解析】
【分析】分三步，首先甲从除语文练习册外的本书中任意拿两本，再乙从剩下的四本书中拿两本，最后丙拿，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】不妨记三位同学分别为甲、乙、丙，
首先甲从除语文练习册外的本书中任意拿两本，则有种；
再乙从剩下的四本书中拿两本，则有种；
最后将剩下的两本给丙即可，
按照分步乘法计数原理可知一共有种不同的分配方法.
故选：D
8. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A.
B. 在第2022行中第1011个数最大
C. 第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
D. 第34行中第15个数与第16个数之比为2：3
【答案】C
【解析】
【分析】A选项由及即可判断；B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项由及即可判断；D选项直接计算比值即可判断.
【详解】由可得
，故A错误；
第2022行中第1011个数为，故B错误；
，故C正确；
第34行中第15个数与第16个数之比为
，故D错误.
故选：C.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分）
9. 对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据y与x成正相关或负相关可判断相关系数的正负，根据点的密集程度可比较相关性的大小，从而比较相关系数绝对值的大小．
【详解】由散点图可知，线性相关系数的图像表示y与x成负相关，故-1，故，故C正确，D错误．
故选：AC．
10. 若，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 含项的系数是112
【答案】ACD
【解析】
【分析】由赋值法可判断AC；将，即可求出可判断B；项的系数只能来自的展开式，求解可判断D.
【详解】对于A，令可得：，所以，故A正确；
对于B，，
则，故B错误；
对于C，令可得，故C正确；
对于D，项的系数只能来自的展开式，
含项系数是，故D正确.
故选：ACD.
11. 随机事件满足，下列说法正确的是（ ）
A. B. 事件与事件相互独立
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据条件概率的性质即可求解AD，根据相互独立的概率乘法公式即可求解B，根据概率的性质即可求解C.
【详解】对于A，因为，所以，A正确；
对于B，因为，故事件与事件相互独立，B正确；
对于C，因为C错误；
对于D，因为D错误.
故选：AB.
非选择题部分
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 某种产品的广告费支出与销售额 (单位：万元)之间的关系如下表：
与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的残差为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先由回归直线方程，求出对应的预测值，再由残差的概念，即可得出结果.
【详解】由题意，当时，，
因此其残差为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查残差的计算，属于基础题型.
13. 随机变量的分布列如下：
若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分布列的性质及数学期望公式，列出方程求出、的值，进而利用方差公式求出方差即可.
【详解】由题意知，解得，
所以.
故答案为：.
14. 已知集合为从到函数，且有两个不同的实数根，则这样的函数个数为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先从集合中找到与对应的元素种类，然后再从集合剩下的元素中找与对应的情况，相乘即可求出结果.
【详解】解：因为有两个不同的实数根，所以有两个元素与对应，有种情况；
然后集合中剩下的个元素，每个元素对应到中都有种对应形式，则有种，故函数个数为种.
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知二项式
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式的第5项的系数.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二项式系数和为计算可得；
（2）写出展开式的通项，利用通项计算可得.
【小问1详解】
对于二项式，则展开式中所有二项式系数的和为；
【小问2详解】
因为二项式展开式的通项为（且），
所以，所以展开式的第5项的系数为.
16. 甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为.
（1）求的期望和方差；
（2）规定：若，则甲获胜，否则乙获胜，求出甲获胜的概率.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，根据二项分布的期望与方差公式计算可得；
（2）根据、求出所对应概率，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.
【小问1详解】
依题意，
所以，.
【小问2详解】
因为，
所以，，
，，
又，
所以，，.
所以甲获胜有以下情况：，；，；，.
所以甲获胜的概率.
17. DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末DeepSeekR1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAIGPT4．对于人工智能公司而言，不同的客户使用需求不同，造成公司运营的技术成本不同．某调研公司对DeepSeek和OpenAI两家公司的客户使用的技术成本进行调研，随机抽取200个客户，将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高、低廉三个类别进行数据统计如下表，其中技术成本高昂和较高情况下都称为为高成本运营，低廉称为低成本运营．
（1）请填写如下列联表，并判断能否有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异；
（2）对于技术成本而言，高成本运营占比越低，则认为技术水平越高．已知DeepSeek发布前penAI高成本运营占比为，设为DeepSeek发布后这两家公司抽取的个客户使用时的高成本运营占比，若，则可以认为DeepSeek的技术水平高于penAI，根据抽取的200个客户信息，是否能够认为DeepSeek的技术水平高于penAI．
附：
【答案】（1）列联表见解析，有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异
（2）能够认为DeepSeek的技术水平高于penAI
【解析】
【分析】（1）根据题意完成列联表，根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论；
（2）利用频率估计概率求得，根据已知条件求得，故可知，从而得出结论.
【小问1详解】
根据题意可得列联表：
可得
因为，
所以有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异．
【小问2详解】
由题意可知：DeepSeek发布后这两家公司的高成本运营占比，
用频率估计概率可得，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，
所以，能够认为DeepSeek的技术水平高于penAI．
18. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，
侧棱的长为2，且，在线段、、、分别取、、、四点且，，，.求：
（1）证明：；
（2）的长；
（3）直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)选择为基底将表示出来，从而证明，（2）利用数量积的定义求向量的模，从而求的长，
（3）利用结合使用作为基底求出直线与平面所成角的余弦值.
【小问1详解】
，，
故，故；
【小问2详解】
,
故
；
【小问3详解】
由，，，
故，
又，
故,
又平面，且,
故平面，即是平面的法向量，
令直线与平面所成角为，
则，
又，
故
，
故
，
即.
19. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值．
（3）在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值．
【答案】（1）
（2）时，为定值
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意，得，进而解出即可求解；
（2）设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，进而求解即可；
（3）结合（2）求得，，，表示出的周长，再结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意，得，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设直线l的方程为，，，
联立，消去y整理得，
则，
且，，
又，，
则
，
则，即时，此时为定值.
【小问3详解】
由（2）知，，，直线l方程为，
且，，，，
则，，
则直线的方程为，
令，得
，
即，则，，，
则周长为，
当且仅当，即时等号成立，
则周长的最小值为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
0
1
2
高昂
较高
低廉
总计
DeepSeek
36
14
50
100
OpenAI
46
24
30
100
高成本运营
低成本运营
DeepSeek
OpenAI

0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
高成本运营
低成本运营
DeepSeek
50
50
OpenAI
70
30