湖南省张家界市2023_2024学年高一数学下学期期末考试试题

这是一份湖南省张家界市2023_2024学年高一数学下学期期末考试试题，共9页。

本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不
准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，向量，若，则m等于 （ ）
A． B． C． D．
3．某学校有高中学生3 000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1 050，
1 000，950．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方法
从中抽取一个容量为300的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为 （ ）
A．195 B．105 C．100 D．95
4．已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接，则（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
5．甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人
平局的概率为 （ ）
A． B． C． D．
6．对于两个平面和两条直线，下列命题中为真命题是 （ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
7．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极
目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”
Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海
拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19
米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该
浮空艇的轴截面图，则它的体积约为 （ ）
（参考数据：，，，）

图1 图2
A．9 064 m3B．9 004 m3 C．8 944 m3D．8 884 m3
8．随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升．某校为提
升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的
主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动
体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两
人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则 （ ）
A．A与B为对立事件 B．A与C互斥
C．B与C相互独立 D．A与C相互独立
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．某校1 000名学生在高一模拟测试中数学成绩的
频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该
组区间的中点值作代表），分数不低于X即为优
秀，已知优秀学生有80人，则 （ ）
A．
B．
C．70分以下的人数约为6人
D．本次考试的平均分约为93.6
10．如图所示，为了测量两岛的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏
西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正
北方向，A在C处的北偏西方向，则下列结论正确的是 （ ）
A．
B．之间的距离为海里
C．之间的距离为海里
D．两岛间的距离为海里
11．正三棱柱的各棱长均相等，D是的中点，是线段
上的动点（含端点），且，当运动时，下列结论正确的是（ ）
A．平面平面
B．三棱锥的体积为定值
C．△DMN可能为直角三角形
D．平面DMN与平面ABC所成的锐二面角的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在9，10，11，13，15，16这六个数中，第50百分位数是__________．
13．已知复数为纯虚数，则__________．
14．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，
，，则球O的表面积为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．
①； ②； ③（i是虚数单位）.
（1）从三个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论．
16．（15分）
全国文明城市简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市．全国文明城市称号是反映中国城市整体文明水平的最高荣誉称号．为普及相关知识，争创全国文明城市，张家界市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表：
（1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；
（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率．
17．（15分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD
为平行四边形，，，
O为AC中点，平面，，
M为PD的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线AM与平面ABCD所成角的
正切值.
18．（17分）
乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分. 如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为. 假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响. 求：
（1）小明对落点在上的来球回球的得分为0分的概率；
（2）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（3）两次回球结束后，小明得分之和的所有可能取值及对应的概率.

19．（17分）
已知G点为△ABC的重心，内角的对边分别为．
（1）若，求实数的值；
（2）若，且
（i），求实数m的值；
（ii），求实数的值.
张家界市2024年普通高中一年级第二学期期末联考
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．12 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：（1）选①：，
选②：，
选③： ． ……………………………6分
（2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，可以得到：
（且不同时为零）， …………………………9分
下面进行证明：
要证：，
只需证：，
∵ ，∴ 成立 ． …………………13分
（或直接利用复数的乘除运算得出结果）
16．（15分）
解：（1），， ……2分
，
，
…………………………………………………4分
显然，， …………………………………………………5分
可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职工对文明
城市知识掌握得更好 ． …………………………………………………7分
（2）从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件（用数
对表示）为(85，89)，(85，91)，(85，92)，(85，93)，(89，91)，(89，92)，
(89，93)，(91，92)，(91，93)，(92，93)，共10个． …………………10分
记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件A，则事件A包含的
基本事件为(85，89)，(85，91)，(85，92)，(85，93)，(89，93)，共5个．
…………………………………………………13分
由古典概型计算公式可知 ． ……………………………15分
17．（15分）
（1）证明：连接，
∵ ABCD为平行四边形，
且O为AC中点
∴ O也为BD中点
∵ M为PD的中点
∴ ………………………4分
又∵ 平面，
平面
∴ 平面 ． ………………………………………………………6分
（2）解：取OD中点，连结，则
∴ ∴ 为AM与平面ABCD所成角 …………9分
∵ ，
∴ △DAC为等腰直角△ ∴ …………………………………10分
在中，易得：，
∴ ……………………………………………14分
∴ 直线AM与平面ABCD所成角的正切值为 ． ……………………15分
（注：如有其它解法请酌情给分．）
18．（17分）
解：（1）记为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”（），
则，，；
记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”（），
则，， ． ……………………3分
（2）记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．
由题意，，
由事件的独立性和互斥性，
，
∴ 小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为 ． ……9分
（3）由题意，可能的取值为0，1，2，3，4，6 …………………………11分
由事件的独立性和互斥性，得：
，
，
，
，
，
． ………………………………………17分
19．（17分）
解：（1）由，即，
得， …………3分
∵ G点为△ABC的重心 ∴ ………………………4分
∴ ，解得： ． …………………………………………5分
（2）如图，连接，
并延长交AB于点，
G点为△ABC的重心，
则D为AB的中点，
由得
， …………………8分
（i）由重心的性质得，在△ADC，△BDC中，
由余弦定理得，
， ……………………………10分
∵ ，，
∴ ，，
即，∴ ； …………………………………………12分
（ii）又，∴
∴
． ……………………17分
（注：如有其它解法请酌情给分．）
甲单位
87
88
91
91
93
乙单位
85
89
91
92
93
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
B
A
D
A
D
题号
9
10
11
答案
AD
ABD
ABD