重庆市名校联盟2024-2025学年高二下学期第一次联合考试数学试卷 含解析

这是一份重庆市名校联盟2024-2025学年高二下学期第一次联合考试数学试卷 含解析，共18页。
注意事项：
1．作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上.
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
3．考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 口袋中装有 5 个白球 4 个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出 2 个球，至少有一个红球的取法种
数是（ ）
A. 20 B. 26 C. 32 D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】由间接法以及组合数即可求解.
【详解】从 个球中任取 个球的取法共有 种，
两个球都不是红球的取法有 种，
所以取出 2 个球，至少有一个红球的取法种数为 .
故选：B.
2. 函数 的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导数，根据导数与 0 的关系得出减区间.
【详解】∵ ，∴ ，
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令 ，解得 ，
即函数 的单调递减区间为 ，
故选：B.
3. 在二项式 的展开式中，常数项为（ ）
A. 180 B. 270 C. 360 D. 540
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，所以常数项为 .
故选：A
4. 若 ，则 （ ）
A. B. 6 C. 3 D. -3
【答案】C
【解析】
【分析】由导数的定义可得；
【详解】 .
故选：C.
5. 五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同
一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果.
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【详解】由题意，五人全排列共有 种不同的排法，
其中甲乙丙三人全排列共有 种不同的排法，
其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共 4 种排法，
所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为 .
故选：B
6. 已知函数 的定义域为 且导函数为 ，函数 的图象如图，则下列说法正确的是
（ ）
A. 函数 的增区间是
B. 函数 的减区间是
C. 是函数的极大值点
D. 是函数的极大值点
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值.
【详解】根据 的图象可知：
当 时， ； 时， ，当 时， ，当 时，
.
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
因此函数 在 时取得极小值，在 取得极大值.
故 ABD 错误，C 正确.
故选：C
7. 已知函数 ，若 在 上单调，则实数 a 的取值范围为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断函数为奇函数，根据奇函数的性质有：要使函数 在 上单调，只要函数 在
上单调，对函数求导，代特殊值求得 ，结合函数在 上单调，可知在 上
恒成立，即可知 ，确定 值并检验即可求解.
【详解】因为 ，且 ，
所以 为奇函数，要使函数 在 上单调，只要函数 在 上单调；
又 ，且 ，
又函数 在 上单调，故函数 在 上只能单调递减，
由 ，即 ，解得 ，
当 时， ， 时， ， ，
故有 在 上恒成立，
经检验知， 时符合题意．
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数的单调性，判断出导数的取值情况，由此确定 值并检验.
8 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数 ，利用导数判断其单调性，由已知可得 ， ，
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， ； ， ，进而利用单调性可得答案.
【详解】令 ，
，
时， ，则 在 上递减，
时， ，则 在 上递增，
由 可得 ，
化为
∴ ，则 ，
同理 ， ； ， ，
因为 ，所以 ，
可得 ，
因为 在 上递减，，
∴ ，
故选：C．
【点睛】方法点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：求出 ，在定义域内分别令 求得 的
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范围，可得函数 增区间，由 求得 的范围，可得函数 的减区间.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知二项式 的展开式中各项的系数和为 64，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为 32
C. 展开式中的常数项为 540
D. 展开式中二项式系数最大的项是第四项
【答案】ABD
【解析】
【分析】令 ，可求出 ，然后再结合组合的知识、二项式系数的性质、系数的变化规律逐项判断．
【详解】令 ，得 ，得 ，故 A 正确；
展开式中所有奇数项的二项式系数和为 ，故 B 正确，
由上得二项式为 ，常数项为 ，故 C 错误；
最大的二项式系数为 ，即第四项的二项式系数最大，故 D 正确；
故选：ABD．
10. 有 本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A. 分给甲､乙､丙三人，每人各 本，有 90 种分法；
B. 分给甲､乙､丙三人中，一人 本，另两人各 本，有 种分法；
C. 分给甲乙每人各 本，分给丙丁每人各 本，有 种分法；
D. 分给甲乙丙丁四人，有两人各 本，另两人各 本，有 种分法；
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项 A，先从 6 本书中分给甲（也可以是乙或丙）2 本；再从其余的 4 本书中分给乙 2 本；最后的
2 本书给丙.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项 B，先分堆再分配. 先把 6 本书分成 3
堆:4 本、1 本、1 本；再分给甲､乙､丙三人.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项 C，6
本不同的书先分给甲乙每人各 2 本；再把其余 2 本分给丙丁.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得
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答案. 选项 D，先分堆再分配. 先把 6 本不同的书分成 4 堆:2 本、2 本、1 本、1 本；再分给甲乙丙丁四人. 根
据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.
【详解】对 A，先从 6 本书中分给甲 2 本，有 种方法；再从其余的 4 本书中分给乙 2 本，有 种方法；
最后的 2 本书给丙，有 种方法.
所以不同的分配方法有 种，故 A 正确；
对 B，先把 6 本书分成 3 堆:4 本、1 本、1 本，有 种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法有
种，故 B 正确；
对 C，6 本不同的书先分给甲乙每人各 2 本，有 种方法；其余 2 本分给丙丁，有 种方法.所以不同
的分配方法有 种，故 C 错误；
对 D，先把 6 本不同的书分成 4 堆:2 本、2 本、1 本、1 本，有 种方法；
再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有 种，故 D 正确.
故选： .
【点睛】本题考查分步乘法原理和排列组合，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.
11. 已知函数 ( 为常数)，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， 在 处的切线方程为
B. 若 有 3 个零点，则 的取值范围为
C. 当 时， 是 的极大值点
D. 当 时， 有唯一零点 ，且
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，可判定 A 正确；根据题意，转化为 与 的图象有 3 个交点，
利用导数求得函数 的单调性与极值，可判定 B 正确；当 时，得到 ，讨论
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函数 的单调性，结合极值点的定义，可判定 C 错误.当 时，得到 ，函数 单调递
增，结合 ，可判定 D 正确；
【详解】对于 A 中，当 时，可得 ，则 ，所以
切线为 A 正确：
对于 B 中，若函数 有 3 个零点，即 有三个解，
其中 时，显然不是方程的根，
当 时，转化为 与 的图像有 3 个交点，
又由 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
所以当 时，函数 取得极小值，极小值为 ，
又由 时， ，当 时， 且 ，
如下图：
所以 ，即实数 的取值范围为 ，所以 B 正确：
对于 中，当 时， ，可得 ，
令 ， 上单调递增，
且 ,所以存在 使得 ，
所以在 上 ， 单调递减，
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在 上 ， 单调递增，又 ,
所以在 上 ，即 ， 单调递减，
上 ，即 ， 单调递增，
所以 是 的极小值点，所以 错误．
对于 D 中，当 时， ，
设 ，可得 ，
当 时， 在 单调递减；当 时， 在 单调
递增，
所以当 时， ，所以 ，
所以 ，所以函数 在 上单调递增，
又因为 ，即 ，
所以 有唯一零点 且 ，所以 D 正确；
故选：ABD.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的
新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩
法，注意恒成立与存在性问题的区别．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 某电视台连续播放 个不同的广告，其中 个不同的商业广告和 个不同的公益广告，要求所有的公益
广告必须连续播放，则不同的播放方式的种数为_______.
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【答案】720
【解析】
【分析】分两步求解，第一步将所有的公益广告捆绑一起当成一个元素和其他 4 个不同商业广告进行排列，
第二部对 个不同的公益广告进行排列，得结果
【详解】解：由题意，第一步将所有的公益广告捆绑一起当成一个元素和其他 4 个不同商业广告进行排列，
不同的安排方式有 种，
第二部对 个不同的公益广告进行排列，不同的安排方式有 种，
故总的不同安排方式有 种，
故答案为 720.
【点睛】本题考查捆绑法解排列组合问题，是基础题.
13. 已知函数 ，则 =______．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导数，赋值 求出 ，再赋值 即可得解.
【详解】 ,
令 ，可得 ，解得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
14. 已知函数 当 时，若对于区间 上的任意两个不相等的实数
，都有 成立，则实数 的取值范围__________.
【答案】
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【解析】
【分析】求出 的单调性，将绝对值去掉后得 ，构造新函数 ，
这样就知道了函数的单调性，分离参量求导，得实数 的取值范围
【详解】不妨设 .
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，即 .
又因为 在 上也单调递增，所以 .
所以不等式 即为 ，
即 ，
设 ，即 ，
则 ，因此 在 上单调递减.
于是 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
令 ，则 ，
即 在 上单调递增，因此 在 上的最小值为 ， 所以 ，
故实数 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 由 ， ， ， ， 组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数，结果用数
字表示）
（1）没有重复数字且为奇数的五位数的个数；
（2）没有重复数字且 和 不相邻的五位数的个数；
（3）恰有两个数字重复的五位数的个数.
【答案】（1）72 个；（2）72 个；（3）1200 个.
【解析】
【分析】（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.
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（2）先对 1,3,5 三个数全排列，然后利用插空法排列 2 和 4 即可.
（3）从 5 个数中挑选出重复的数字，从剩下的 4 个数中挑选 3 个数字，先对重复数字排列，然后余下的三
个数全排列即可.
【详解】解：（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.
个.
（2）先对 1,3,5 三个数全排列，然后利用插空法排列 2 和 4,即 个
（3）从 5 个数中挑选出重复的数字，从剩下的 4 个数中挑选 3 个数字，先对重复数字排列，然后余下的三
个数全排列即 个
16. 已知函数 在 时取得极小值 ．
（1）求实数 ， 的值；
（2）求 在区间 上的最值．
【答案】（1） ，
（2）最小值为 ，最大值为
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意 ，解得 、 的值，再代入检验；
（2）由（1）可得函数解析式，再利用导数说明函数的单调性，求出区间端点的函数值与极小值，即可得
解.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 ，
依题意 ，即 ， 解得 或 ，
若 ，则 ，则 无极值点，不满足题意，
经检验 符合题意，所以 ， .
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【小问 2 详解】
由（1）知 ，
则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减， 上单调递增，
则 在 处取得极小值，
又 ， ， ，
所以 在 上 最小值为 ，最大值为 .
17. 已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值（结果用数字表示）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题目条件，令 ，化简可得 的值，再令 ，化简可得结果；
（2）结合二项式展开式通项公式可得 ，结合组合数性质求值.
【小问 1 详解】
在 中，
令 ，得 ，所以 .
在 中，
令 ，得 ，
所以 .
【小问 2 详解】
∵ 的展开式的通项公式为 ，
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∴ .
18. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在 处 切线方程；
（2）讨论函数 零点的个数；
（3）当 时，证明：当 时， .
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，令 ，可得 ，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，即
可得到结果；
（3）根据题意，求导可得 ，令 ，求导可得 在 上单调递减，从
而可得 在 上单调递减，即可证明.
【小问 1 详解】
当 时， ，则 ，
所以 ， ，
由直线的点斜式可得 ，化简可得 ，
所以切线方程为 .
【小问 2 详解】
因为函数 ，
令 ，可得 ，
设 ，则 ，
当 时， ，此时 在 上单调递增，
当 时， ，此时 在 上单调递减，
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所以当 时， 有极大值，即最大值， ，
且 时， ，
所以当 时，函数 与函数 无交点；
当 时，函数 与函数 有且仅有一个交点；
当 时，函数 与函数 有两个交点；
当 时，函数 与函数 有且仅有一个交点；
综上所述，当 时，函数 无零点；
当 或 时，函数 有且仅有一个零点；
当 时，函数 有两个零点.
【小问 3 详解】
当 时， ，
令 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ， ，
则当 时， 恒成立，
所以 在 上单调递减，
即 在 上单调递减，
所以 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 .
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数零点问题以及利用导数证明不等式问题，难度较大，
解答问题的关键在于将零点问题转化为函数交点问题，将不等式问题转化为最值问题.
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19. 若函数 在 上存在 ，使得 ，
，则称 是 上的“双中值函数”，其中 称为 在 上的中值点.
（1）判断函数 是否是 上的“双中值函数”，并说明理由；
（2）已知函数 ，存在 ，使得 ，且 是 上的“双
中值函数”， 是 在 上的中值点.
①求 t 的取值范围；
②证明：
【答案】（1） 是 上的"双中值函数"，理由见详解
（2）① ；②证明见详解.
【解析】
【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可;
（2）①根据定义知 ，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件
先转化问题为 ,构造差函数 ，利用多次求导判定其单调性去函数符号
即可证明.
【小问 1 详解】
函数 是 上的"双中值函数".
理由如下：
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ,
令 ，得 ，即 ，解得 .
因为 ,
所以 是 上的"双中值函数".
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【小问 2 详解】
①因为 ，所以 。
因为 是 上的"双中值函数"，所以
由题意可得 .
设 ，则 .
当 时， ，则 为减函数，即 为减函数；
当 时， ，则 为增函数，即 为增函数.
故 .
因为 ，所以 ，所以 ，
即 的取值范围为 ；
②不妨设 ，
则 ，
即 .
要证 ，即证 .
设 ,
则 .
设 ，则
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 则 在 上单调递减.
因为 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 .
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因为 ，所以
因为 ，所以 .
由（1）可知 在 上单调递增，
所以 ,即 得证.
点睛:
思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在
导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调吽与最值即可：第一小问.可利用等量关系消元转化证明
,类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明.
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