2025年高考第二次模拟考试：数学（新高考Ⅰ卷01）（解析版）

这是一份2025年高考第二次模拟考试：数学（新高考Ⅰ卷01）（解析版），共17页。试卷主要包含了已知，则，设函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ），
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，
，则，
所以．
故选：A.
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意知，,
所以,
故选：C
3．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，，
若，则，
解得或，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
4．某景区新开通了 个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行体验，且甲不体验 项 目， 则不同的体验方法共有（ ）
A．12 种B．18 种
C．24 种D．30 种
【答案】C
【详解】若乙、丙、丁 3 人体验的项目各不相同，则有 种体验方法，
若乙、丙、丁 3 人有 2 人体验的项目相同，则有 种体验方法，
故不同的体验方法共有 24 种.
故选：C.
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
即，
所以．
故选：D．
6．已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设的公差为，因为，，
可得 ，解得，所以，
可得，
所以当时，取得最小值.
故选：D.
7．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，即的圆心，半径为，
椭圆方程中，，，
则圆心为椭圆的右焦点，线段为的直径，连接，
因此
，点为椭圆上任意一点，
则，，即，
所以.
故选：A
8．设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，且，则下列不等式中成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】对于A，因为，所以，，当且仅当时取等号，A正确；
对于B，因为，，
令，，
令
令令，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
又，，
的时，fx取最小值，所以B正确；
对于C，，因为，所以在上最小值为，，C正确；
对于D，，D错误；
故选：ABC.
10．设函数，则（ ）
A．当时，的图象关于点对称
B．当时，方程有个实根
C．当时，是的极大值点
D．存在实数，恒成立
【答案】ABD
【详解】对于A选项，当时，，
因为，所以，，
所以的图象关于点对称，故A正确；
对于B选项，当时，，则，
令，可得或，列表如下：
所以，函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以，，又因为，如下图所示：
由图可知，直线与函数的图象由三个交点，
即时，方程有个实根，故B正确；
对于C选项，，
当时，，此时函数在上单调递增，故C错误；
对于D选项，当时，函数在上单调递增，此时恒成立，故D正确．
故选：ABD．
11．“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点，的距离之积为定值．则下列说法正确的是（ ）（参考数据：）

A．若，则的方程为
B．若上的点到两定点、的距离之积为16，则点在上
C．若，点在上，则
D．当时，上第一象限内的点满足的面积为，则
【答案】ACD
【详解】已知原点在上，则，设为上任意一点，
则有，整理得．
若，则的方程为，故A正确；
若，则，代入方程得，显然点不在此曲线上，故B错误；
若，点在上，有，
整理得，所以，故C正确；
因为，，可得，
所以点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点，
联立方程，解得，，即，所以，故D正确．
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：根据题干背景得到曲线方程为关键.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知直线与直线平行，且与曲线相切，则直线的方程是 .
【答案】（或）
【详解】直线的斜率为，由于直线与直线平行，则直线的斜率为，
对函数求导得，令，解得或（舍去），
所以切点的坐标为.
故直线的方程为，即
故答案为：（或）.
13．在三棱台中，，，平面平面，则该三棱台外接球的体积为 ．
【答案】
【详解】

分别取的中点，则平面，且外接球球心在直线上，由题意，．
设，
若球心在线段上，则，得；
若球心不在线段上，则，无正数解．
所以外接球体积为．
故答案为：
14．小郅和小豪同学玩纸牌游戏，小郅面前有标有点数分别为1、2、3、4、5的纸牌各1张，小豪面前有标号为1、2、3、4、5的纸牌分别有5、4、3、2、1张（抽牌阶段抽到每张牌的概率均等），规定首先小豪同学从其面前纸堆中抽取一张牌点数记为，然后放回牌堆，随后小郅同学任意从其面前牌堆中抽取张牌，记这张纸牌的点数和为，则 ， .
【答案】
【详解】的分布列为：
所以，
的分布列为：
同理：，故：，
当时，的分布列为：
所以，
当时，的分布列为：
所以，
当时：的分布列为：
，
当时：的分布列为：
，
当时：的分布列为：
，
所以：.
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．如图（1），在直角梯形中，，现沿着折起，使得平面平面，如图（2）．
(1)求证：平面．
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题可求得，且，
则，可知，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接，
因为，则，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
以为坐标原点，所在的直线分别为轴，平行于的直线为y轴，建立空间直角坐标系，
则．
可得，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，可得；
设平面的一个法向量为n=x2,y2,z2，则，
令，则，可得，
则，
所以二面角的大小为．
16．已知数列是等差数列，其前和为，数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)若对数列，在与之间插入个1，组成一个新数列，求数列的前2025项的和．
【答案】(1)，；
(2)2080
【详解】（1）为等差数列，设其公差为，
则，解得，
故；
①，
故当时，②，
两式相减得，
故，所以，，
又，故，满足，
从而；
（2）由（1）知，，，
所以在中，从开始到项为止，
共有项数为，
当时，，
当时，，
所以数列前2025项是项之后，还有项为1，
故.
17．甲､乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲､乙投进的次数相同，则甲､乙需要再各投1次（称为第3次投篮），结束比赛，规定3次投篮投进次数多者为胜，若3次投篮甲､乙投进的次数相同，则判定甲､乙平局.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，各次投进与否相互独立.
(1)求甲､乙需要进行第3次投篮的概率；
(2)若每次投篮投进得1分，否则得0分，求甲得分的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【详解】（1）设甲第次投进为事件，乙第次投进为事件，
则，．
设甲、乙需要进行第3次投篮为事件，则事件包括以下两两互斥的三个事件：
① “甲、乙前2次都投进2次”，其概率为，
②“甲、乙前2次都投进1次”，其概率为，
③“甲、乙前2次都投进0次”，其概率为．
则由互斥事件的概率加法公式，可得．
（2）由题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
（提示：此时有三种情况，①甲前2次投进1次，乙前2次投进0次或2次；
②甲、乙前2次均投进1次，第3次甲未投进；③甲、乙前2次均未投进，第3次甲投进）
，
．
所以的分布列为：
所以．
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与重合，点G是C与E在第一象限的交点，且.
(1)求E的方程.
(2)设过点的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合.
（ⅰ）若l的倾斜角为45°，求的值；
（ⅱ）若P为C的准线上一点，设PA，PB，PF2的斜率分别为，证明：为和的等差中项.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）由已知得C的焦点为，即，所以.①
因为，由抛物线的定义可得，所以.
代入E的方程可得.②
由①②解得，，所以E的方程为.
（2）设，，，.
（ⅰ）因为直线l的倾斜角为45°，所以，直线l的方程为.
联立整理得，则，
所以.
联立整理得，
则，，
所以.
所以.
（ⅱ）由题意知，，
设，且直线AB的方程为.
联立整理得，显然，
则，，
所以，，，
，
又，即，
所以为和的等差中项.
19．若对且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数．
(1)判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由；
(2)若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围；
(3)若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求证．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）函数是函数在区间上的1级控制数．
理由如下：因为，且，所以，
所以，即成立，
所以函数是函数在区间上的1级控制函数．
（2）由函数是函数在区间上的级控制函数，
得，又，由指数函数性质得在上单调递增，
所以，即恒成立．
令，所以当，且时，恒成立，
故在上恒成立．因为，所以在上恒成立，
则恒成立，即，由指数函数性质在上单调递增，
故，则，由题意得，所以，
综上，可以得到实数的取值范围是．
（3）因为函数在区间上存在两个零点，
所以我们不妨设，且，
因为函数是函数在区间上的级控制函数，
所以，
即，
可以得到．
要证，即证，
即证，即证，
令，构造，
所以，
所以φx在上单调递增，
所以，即时，，
即成立，所以得证．增
极大值
减
极小值
增
1
2
3
4
5
1
4
9
16
25
1
2
3
4
5
15
3
4
5
6
7
8
9
6
7
8
9
10
11
12
10
11
12
13
14
0
1
2
3