四川省绵阳市高中2022级高三第三次诊断性考试（绵阳三诊A卷）数学试卷及参考答案

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一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
BABC DACC
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．
9．ACD 10．AB 11．AB
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．−8 13．0.42 14．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）设数列公比为 ，
由 ， ， 成等差数列得： ， 3 分
∴ ，即： ，可得 ， 5 分
数列{an}的通项公式为： ； 6 分
（2）
7 分
8 分
9 分
11 分
（或 ）． 13 分
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16．解：（1） ，令 ， 1 分
∵函数 在 处取得极值．
∴ ，则 ， 2 分
， 3 分
令 ，可得 ，或 ， 4 分
， ， 单调递增；
， ， 单调递减； 5 分
， ， 单调递增， 6 分
∴ 的极小值为 ； 7 分
（2）由（1）可知 在[1，2]上单调递减， 8 分
∴ ， ， 9 分
∴ ， 10 分
∴ 13 分
∴当 ， ． 15 分
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17．解：（1）梯形 中 DA，CB，EF 不平行，延长 D1A1，CB，EF，
记 ， ，
∵ ， 2 分
∴△MFD1≌△NFC，则 FM=FN，即 M，N 重合， 3 分 ∴ ，所以 A1，B，D1，C 四点共面； 4 分
（2）∵平面 A1EFD⊥平面 BEFC，面 面 ， ，
∴D1F⊥面 ，则 D1F⊥面 CF， 5 分
易知 FE，FC，FD1 两两垂直，不妨以 F 为坐标原点，以 FE，FC，FD1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz． 6 分
不妨设 A1E=BE=a，则 ， ， ，C(0，a+1，0)，
D1(0，0，a+1)，
则 ， ， 7 分
由 可知， ，
可解 ， 8 分
∴ ； 9 分
（3）∵平面 面 ，记面 面 ，在平面 EFP 内过点 E
作直线 m⊥l，
∴ ， 10 分
又∵ 面 ，∴ ，且 面 ， 面 ，
∴ 面 ，∴ ，
在等腰直角三角形△D1FC 中 FP 为中线，即点 P 为 CD1 的中点； 11 分
由第（2）问可知 ， ，C(0，3，0)，
则 ， 12 分
不妨设平面 BFP 的法向量为 n=(x，y，z)，取平面 BEFC 的法向量为 m=(0，0，1) 平面 BFP 与平面 BEFC 所成角为 ，
即 ，不妨取 ， 13 分
则 ， 14 分
∴平面 BFP 与平面 BEFC 夹角的余弦值为 ． 15 分
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18．解：（1） ，则 即 a=1， 1 分
又 ，解得 ， 2 分
∴双曲线 C 的方程为 ． 3 分
（2）方法一：设 ，则由 ，
可得： ， 4 分
又点 T 在双曲线 C 上，则 ，
化简整理得： ， 5 分
又 ， 均在双曲线 C 上，则 ， ，
代入上式整理得： ……①， 6 分
易知直线 l1 的斜率为 0 时，不符合题意，
设直线 l1 方程为 ，则 ，
代入①得： ……②
联立 ，得： ， 7 分
由韦达定理可得： ， 8 分
代入②式得： ， 9 分
解得： ，即 ，此时 ，则直线 l1 与双曲线 C 右支有两个交点，
即直线 l1 方程为 ； 10 分
方法二：易知直线 l1 的斜率为 0 时，不符合题意，设直线 l1 方程为 ，
，MN 的中点为 P(x0，y0)，
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联立 ，得代入①得： ， 4 分
由韦达定理可得： ， 5 分
∴ ， ， 6 分
则由 =
∴ ， 7 分
代入双曲线 C 的方程可得： ，
∴ ， 8 分
∴ ，或 ， 9 分
当 时，直线 l1 与双曲线的渐进性平行，不符合题意，
∴直线 l1 方程为 ； 10 分
（3）设直线 l1 方程为 ，直线 l2 方程为 ，
由 ，则 ，即 ， 11 分
∴ ， ，则 (当且仅当 时
取等号)
设 ， ， ， ，
则 ，
同理可得： ， 12 分
故 ，
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同理： ，
∴ ……③ 13 分
联立 得： ，
由韦达定理可得： ，同理可得： ，代入③得：
=
= 14 分
令 ，则 ， 15 分
令 ，则 在区间[6，10)上单调递增，
∴ ， 16 分
故当 ， 时， 的最小值为 ． 17 分
方法二： （当且仅当 ， 时，等
号成立）， 16 分
∴ 的最小值为 ． 17 分
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19．解：（1）当 n = 3 时，巴士从(0，0)行驶到(2，1)时，共有 种行驶路线；
从(2，1)行驶到(3，3)时，共有 种行驶路线； 2 分
因此经过(2，1)的行驶路线共有 种； 4 分
（2）（i）方法一：
除去起点 A 与终点 B 外，巴士一定会经过 7 个格点，若游客恰好游览了 7 个景点，
说明巴士一定不经过 AB 对角线上的格点．
∴巴士第一步必然到达(1，0)或(0，1)格点，且必然从(4，3)或(3，4)到达终点．在
这个过程中既不会穿过 AB 对角线，也不会到达对角线上的格点． 5 分
考虑对称性，不妨先计算从格点(1，0)到达格点(4，3)，且不经过(1，0)与(4，3)连
线上方格点的路线总数． 6 分
假设向右行驶记为 1，向上行驶记为−1，那么每条行驶路线实际唯一对应一个含 3
个 1 与 3 个−1 的序列 a1，a2，…，a6．行驶路线不经过(1，0)与(4，3)连线上方格点，
等价于对任意前 k 段，向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即 ．
根据题意，满足条件的路线总数应为 种． 8 分
从而从格点(0，1)到达格点(3，4)，且不经过(0，1)与(3，4)连线上方格点的路线总
数也为 5 种．
因此游客游览了 7 个景点的路线总数为 10 种． 9 分
方法二：当 n = 4 时，巴士总共有 种行驶路线， 5 分
除去起点 A 与终点 B 外，巴士一定会经过 7 个格点，若游客恰好游览了 7 个景点，
说明巴士一定不经过 AB 对角线上的格点，即(1，1)，(2，2)，(3，3)，
设经过格点 C(1，1)，D(2，2)，E(3，3)分别为事件 C，D，E，
则经过格点 C 的路线总数为 种，
经过格点 D 的路线总数为 种，
经过格点 E 的路线总数为 种，
经过格点 C 与格点 D 的路线总数为
种，
同理 种， 种，
经过格点 C，D，E 的路线总数为 种， 7 分
因此经过格点 C 或格点 D 或格点 E 的路线总数为：
，8 分
用韦恩图可如上图表示，
故游客恰好游览了 7 个景点的路线总数为 种； 9 分
（ii）要保证游客能够分别浏览两个景区至少 1 个景点，即行驶路线必须穿过对角
线AB．不妨先考虑只经过AB及其右下方格点的行驶路线，设总数为R(n)，假设向右行
驶记为 1，向上行驶记为−1，那么每条行驶路线实际唯一对应一个含 n 个 1 与 n 个−1 的
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序列 a1，a2，…，a2n．行驶路线不经过 AB 左上方的格点，等价于对任意前 k 段，向右
行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即 ， 10 分
由题意 11 分
12 分
∴行驶路线不经过 AB 右下方格点的种数也应为 ，
∴行驶路线穿过对角线 AB 的种数为 ，
故 ．
只需证： ，n≥5． 13 分
当 n = 5 时， ，上式显然成立．
当 n≥6 时，令 ，
显然， ． 14 分
且 ，
∵ ( )，当且仅当 时取等，
不难知 ，故 ， 15 分
所以 ， 16 分
即 ，
综上所述： ． 17 分
（注：也可以假设 ，对整理后的一元二次不等式进行
验证）
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