辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中数学试题【含答案】

这是一份辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中数学试题【含答案】，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知为第四象限角，则点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
4．将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象上所有点都向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，，则（ ）
A．B．C．D．或
6．线段AB的长度为6，C，D为其三等分点（C靠近A，D靠近B），若P为线段AB外一点，且满足，则（ ）
A．36B．－36C．－8D．8
7．已知某摩天轮的半径为，其中心到地面的距离为，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（ ）
A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟
8．已知定义在上的偶函数，当时，，若对任意，总有成立，对任意的，恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若的终边经过，则
B．
C．若，则为第一或第四象限角
D．若角和角的终边关于轴对称，则
10．已知函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好为奇函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数满足：，，，，，则（ ）
A．为奇函数B．
C．方程有三个实根D．在上单调递增
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 .
13．函数相邻的两个零点分别为，则 .
14．已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．单位向量，满足.
(1)求与夹角的余弦值：
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16．已知．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，求的值．
17．已知函数，图象上两相邻对称轴之间的距离为； ；
（Ⅰ）在①的一条对称轴；②的一个对称中心；③的图象经过点这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；
（Ⅱ）若动直线与和的图象分别交于、两点，求线段长度的最大值及此时的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)函数的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值；
(3)函数，若对于任意，当时，都有成立，求实数的最大值.
19．已知函数
(1)求方程在上的解集
(2)设函数，.
①证明：在区间上有且只有一个零点；
②记函数的零点为，证明：
参考答案
1．【答案】A
【详解】由为第四象限角，，
所以点位于第一象限.
故选：A
2．【答案】B
【详解】设该扇形的半径为，因为扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则，
则该扇形的面积为.
故选：B.
3．【答案】A
【详解】，
，
，
所以，，，
所以.
故选：A.
4．【答案】D
【详解】由题意，将的图象上所有点都向左平移个单位长度，
得到的图象，
再将所得函数图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
得到的图象，
而，
即，
故选：D
5．【答案】B
【详解】由，
，即，
，为钝角，
，，
，
，
则，
，，
则.
故选：B.
6．【答案】C
【详解】，，
所以
因为AB的长度为6，C，D为其三等分点（C靠近A，D靠近B），，
所以
，
故选：C.

7．【答案】B
【详解】设游客到地面的距离为，设关于转动时间（单位：分钟）的函数关系式为，
则，，可得，
函数的最小正周期为，则，
当时，游客位于最低点，可取，
所以，，
由，即，可得，
所以，，解得，
因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有分钟.
故选：B.
8．【答案】D
【详解】由当时，，故时，，
对任意，总有成立，
故当时，有，故，
即时，，
同理可得，当时，，
当时，，，
又为定义在上的偶函数，故关于轴对称，
故时，，
对任意的，恒成立，
即当时，有，
易得在上的最小值为，故，
又时，，
则当需最大时，有，且，且，
又，故，
即，解得或（舍），
故、时，有最大值，且最大值为.
故选：D.
9．【答案】AD
【详解】对于A，若的终边经过，则，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，若，则的终边在第一或第四象限或轴的非负半轴上，故C错误；
对于D，若角和角的终边关于轴对称，
则，所以，
所以，故D正确.
故选：AD.
10．【答案】AC
【详解】由题意知，函数的最小正周期为，则，得，
所以，
将函数的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
因为为奇函数，则，，即，，
当时，，符合题意；当时，符合题意.
故选：AC.
11．【答案】BCD
【详解】令，则，
令，则，
在上式中，令，则，即，
令，则，
则，即，
又因为，
所以，即，
对于A，，故不为奇函数，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，结合关键点的分析，再同一平面直角坐标系中作出与的图象如图所示：
观察图象可知，与的图象有三个交点，即方程有三个实根，故C正确；
对于D，当，，由复合函数单调性可知此时单调递增，故D正确.
故选：BCD.
12．【答案】
【详解】.
故答案为：
13．【答案】
【详解】
，
令得，
故，或，
解得或，
又，其中，
故，
或，
综上，.
故答案为：
14．【答案】
【详解】先通过向量的定义得到，从而，通过求出，再求出，利用表示夹角，进而利用基本不等式求最值.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，即，则，
则，即与夹角的余弦值.
（2）因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
当与共线时，有，即，
由（1）知与不共线，所以，解得，
所以当与不共线时，，
由，得，
即，解得，
所以且，即实数的取值范围为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
由已知，，得，
所以．
（2），
，得，
由，得，
则，
，，
．
． ．
．
而，
．
．
．
17．【答案】（Ⅰ）选①或②或③，；（Ⅱ）当或时，线段的长取到最大值.
【解析】（Ⅰ）先根据题中信息求出函数的最小正周期，进而得出.
选①，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；
选②，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；
选③，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；
（Ⅱ）令，利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出在上的最大值和最小值，由此可求得线段长度的最大值及此时的值.
【详解】（Ⅰ）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，则该函数的最小正周期为，，此时.
若选①，则函数的一条对称轴，则，
得，，当时，，
此时，；
若选②，则函数的一个对称中心，则，
得，，当时，，
此时，；
若选③，则函数的图象过点，则，
得，，，
，解得，此时，.
综上所述，；
（Ⅱ）令，，
，，当或时，即当或时，
线段的长取到最大值.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由图象可知则，
则，
又，所以，
所以，
又，所以，
所以的解析式为；
（2），令，
由可得，
令，
由对称性可知，两式相加可得，
，
所以；
（3），
令，
则
，
因为对于任意，当时，都有成立，
所以对于任意，当时，都有成立，
即对于任意，当时，都有成立，
所以函数在上单调递增，
由，得，
所以，解得，
所以的最大值为.
19．【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②证明见解析
【详解】（1）依题意，得，
所以，
所以或，
当时，，则，
又，所以，
当，则，
又，
所以或，所以，
所以方程在上的解集为.
（2）①设，
当时，则，
此时在上单调递增，
在上也单调递增，所以在上单调递增，
，
所以在区间上有且只有一个零点；
②记函数的零点为，
所以，且，所以，
所以，
令，因为，所以，
又，则，
所以，
则.