上海浦东新区2024-25学年高考二模数学试卷及参考答案

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10. 66.4 11. 12.
选择题 D B C A
17.
解：（1）因为函数是奇函数，
的定义域关于原点对称，
由，
则，
所以
法二：因为函数是奇函数，定义域为R，
所以
，函数是奇函数。
所以
（2）方法一：判断函数的单调性：
对任意实数且
因为，所以，所以
所以函数在上是严格减函数；
所以当时，函数的最大值为，
所以
方法二：
对任意实数，不等式恒成立，
即
设，
对任意实数且
因为，所以，所以
所以函数在上是严格减函数；

所以
方法三：
对任意实数，不等式恒成立，
即
，

所以
18.
解1：
（1）证明：
取中点，连接、，
∵，
∴
∵，
∴
∴四边形为平行四边形
∴
∵，在平面外
∴平面
（2）解：作，垂足为，连接
∵
∴
∴
∴直线与平面所成的角为，
∴，
∴
∴
∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为，
解2：
（1）证：如图建立空间直角坐标，则，，，
，，，
∴，
取平面的法向量
∵，
且在平面外
∴平面
（2）设，则，
∴，
取平面的法向量
设与的夹角为，
则，
求得
∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为，.
19.
解:（1） 记、软件能正确解答数学问题的概率为和,
则
（2）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件，“该题为几何题”为事件.则

同理可得

因为，所以B软件能够正确解决这道试题的概率更大，小浦应该使用B软件来解决这道试题.
（3）几何试题用软件解答，函数试题用软件解答.
因为
所以 .
于是 .
显然 相互独立，
所以

20.
（1）由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为
解得；
（2）由题，，，所以，直线的方程为
设的方程为，，
联立直线与椭圆：，代入整理得
故
即，解得.
所以的标准方程为.
（3）由题，设的方程为
由题意，且
任取上一点（不与点A重合），则，
设，则
直线的方程为，故
代入得
因为，解得，
由对称性，不妨设，代回直线方程可解得
而点位于上，所以

为上任一点，所以为定值，化简得
设，为上任一点，即有解
整理得，
解得，所以
故的长轴长
21．
解析：（1）假设成等差数列，得，
设公差为，则，
对于，
直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
由题意，恒成立，
取，，则成等差数列且均为正整数，故是“整数等差函数”．
对于，
直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
由题意，，
若，则，
同时，由，得恒成立，故不是“整数等差函数”．
（2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为正整数，
设公差为，则，且，
直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
由题意，，
因为，，
所以
，
因为，所以，
可取，使等号成立，故的最小值为．
（3）充分性，因为为常值函数，所以，
任意取等差数列，则直线的斜率，
曲线在点处的切线斜率为，
因为，所以为“等差函数”．
必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列，
设公差为，则，
直线的斜率，
曲线在点处的切线斜率为，
由题意，
，
令，
，
令，
，
因为在上为增函数，所以，在上为增函数，
因为，所以，在上为增函数，
因为，所以在上恒成立，
又，由的单调性知，
故，，
，为常数，
，
，
，
接下来，一方面，因为，且在上为增函数，
所以在上为增函数，故，，
由，可得，
另一方面，因为，
所以，可得，
以此类推，在上恒成立，即为常值函数．
命题得证！