2024届湖南省邵阳市高三第一次联考（邵阳一模）数学试卷（含答案）

这是一份2024届湖南省邵阳市高三第一次联考（邵阳一模）数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了保持答题卡的整洁，设，则的大小关系为，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22个小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
2.下列各式的运算结果不是纯虚数的是（ ）
A. B.
C. D.
3.命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
4.若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.苗族四月八日“姑娘节”是流传于湖南省绥宁县的民俗活动，国家级非物质文化遗产之一.假设在即将举办的“姑娘节”活动中，组委会原排定有8个“歌舞”节目，现计划增加2个“对唱”节目.若保持原来8个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（ ）
A.56 B.90 C.110 D.132
7.已知函数在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.设点为圆上一点，已知点，则下列结论正确的有（ ）
A.的最大值为
B.的最小值为8
C.存在点使
D.过点作圆的切线，则切线长为
10.下列说法正确的有
A.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，且，则总体方差
B.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1
C.已知随机变量，若，则
D.已知一组数据为，则这组数据的第40百分位数为39
11.如图所示，已知正四棱柱中，为的中点，则（ ）
A.平面
B.平面
C.为棱上任一点，则三棱锥的体积为定值
D.平面截此四棱柱的外接球得到的截面面积为
12.已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A.关于对称 B.关于对称
C.是周期函数 D.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.的展开式中的系数为__________.
14.已知数列的首项为，则__________.
15.已知，则__________.
16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，点为它们的一个交点，且.当取最小值时，的值为__________.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17.（10分）现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为，第2台车床的正品率为，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的.
（1）从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；
（2）从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计的数学期望.
18.（12分）在中，内角满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
19.（12分）如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且为等边三角形.
（1）求证：；
（2）截面与下底面所成的夹角大小为，
求异面直线与所成角的余弦值.
20.（12分）设数列满足：.等比数列的首项，公比为2.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21.（12分）已知陏圆的短轴长为，右顶点到右焦点的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图所示，设点是椭圆的右顶点.过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且都在轴的上方.在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22.（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，求证：当时，恰有两个零点.
2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准
数学
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
7.C 解析：由，得，
的单调增区间为.
在上递增，.
由，得的单调减区间为.
综上，.
8.D 解析：，设，
在上单调递减.又.又，
设时，在单调递减.
.综上.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
11.BC 解析：A错.B.平面.又平面
，B对.平面为定值，对..设外接球球心为，即为对角线中点.到平面距离为到平面距离的一半，到平面距离为到平面距离为，正四棱柱外接球半径为截面圆半径错.
12.ACD 解析：因为为奇函数，所以，所以，即，所以的图象关于直线对称.因为为奇函数，所以函数的图象关于点对称，所以8是函数的一个周期.因为，所以，所以.故选ACD.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.25 14.9 15.1 16.
15.1 解析：，所以，即；故或，因为，所以，故.
16. 解析：设椭圆方程为，双曲线方程为：.
不妨设点为第一象限的交点，由题意知：则
由余弦定理得：.
.
当且仅当时取等号，.
.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17.（10分）
解：（1）不难知，第1台加工零件的次品率为，第2台加工零件的次品率为.
记事件表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是次品”，
事件表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是第台车床加工的”，.
则.
（2）的可能取值为，且服从二项分布.
由（1）知，.
.
18.（12分）
解：（1）由已知.
.
.
（2）.
又，
.
令，
.
当且仅当取等号.
的最大值为.
19.（12分）
（1）证明：圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
母线与母线的延长线必交于一点，
四点共面.
圆面圆面，且平面圆面，平面圆面.
.
（2）解：为等边三角形，
，如图建立空间直角坐标系，
设.
.
设平面的一个法向量.则有：
令，则.
底面的一个法向量，
因为截面与下底面所成的夹角大小为，
所以，
，
，又坐标为.
，
.
异面直线与所成角的余弦是.
20.（12分）
解：（1）.
.
.即.
当时，，满足上式.
.
（2）由（1）知：.
，
.
.
.
21.（12分）
解：（1）依题意得
解得，
椭圆的标准方程为.
（2）存在点，使，点的坐标为.理由如下：
直线过点，与椭圆交于不同的两点.且都在轴上方.
直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为.
联立方程消去可得：
.
设，则.
，
.
存在点满足条件.
点坐标为.
22.（12分）
（1）解：.
当时，在上单调递减.
当时，在上单调递减，上单调递增.
当时，在上单调递增.
当时，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减，上单调递增.
当时，在上单调递增.
当时，在上单调递减.
（2）证明：时，.
令，
则.
令.
i.时，恒成立，
在上单调递增.
又，
存在一个零点，使.
ii.，
恒成立，
在上单调递减.
又，
.
存在零点，使.
，
.
在上单调递增，上单调递减.
又.
，
存在一个零点，使.
iii.，
恒成立.
在单调递减.
恒成立.
在没有零点.
iv.时，
下面来证明当时，.
设.
.
在上单调递增，
，
恒成立.
综上所述，在只有两个零点.
又是由向右平移一个单位所得，
在只有两个零点.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
D
A
D
B
C
D
题号
9
10
11
12
答案
AD
BCD
BC
ACD