山东省菏泽市曹县第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题 含解析

这是一份山东省菏泽市曹县第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题 含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上．
1. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，，，
所以，即，
即，所以，解得.
故选：C
2. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若则边（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理解出的即可.
【详解】在中，由正弦定理可得，.
故选：B
3. 在中，点D在边AB上，BD＝2DA.记，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理结合向量的加减法运算求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，，
所以
，
故选：B
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，则三角形是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】结合正弦定理和余弦定理，判断出三角形的形状.
【详解】根据正弦定理可知，所以，由于，所以，所以三角形是直角三角形.
故选：B
【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.
5. 的内角、、的对边分别为、、，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理可求得所求代数式值.
【详解】设的外接圆半径为，由正弦定理可得，
因此，.
故选：C.
6. 小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为，，并测得，则教学楼AB的高度是（ ）
A. 20米B. 米C. 米D. 25米
【答案】A
【解析】
【分析】根据仰角可得，，在三角形利用余弦定理即可求解.
【详解】设教学楼的高度为，
在直角三角形中，因，所以，
在直角三角形中，因为，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
代入数值可得解得或（舍），
故选:A.
7. 中，D为BC的中点，，则AD的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，然后结合向量的模长公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，
则
，
则，即AD的长为.
故选：C
8. 如图，正方形的边长为2，圆半径为1，点在圆上运动，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的加法可得，再由向量数量积的运算即可得解.
【详解】设与的夹角为，则，
，
因为，
所以，
故选：C
二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知平面向量，则（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量的模为D. 与的夹角为钝角
【答案】AC
【解析】
【分析】由模长的计算可得A正确；由向量垂直的坐标表示可得B错误；由投影向量的模的计算可得C正确；由向量的夹角公式可得D错误.
【详解】A：由题意可得，故A正确；
B：因为，
所以，故B错误；
C：在上的投影向量的模为，故C正确；
D：与的夹角的余弦为，所以夹角不是钝角，故D错误；
故选：AC.
10. 在中，角所对的边分别为，，，以下判断正确的是（ ）
A. 若，则的面积为B. 若，则
C. 若，则D. 若有两解，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三角形的面积公式计算即可判断A；根据正弦定理计算即可判断B；根据余弦定理计算即可判断C；根据正弦定理和且即可判断D.
【详解】A：若，则，故A正确；
B：若，由正弦定理得，
即，解得，故B错误；
C：若，由余弦定理得，
即，整理得，由解得，故C正确；
D：由正弦定理得，则，
由得，若有两个解，则且，
所以，即，解得，故D正确.
故选：ACD
11. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若D是外一点，DC＝1，AD＝2，则下列说法中正确（ ）
A. B.
C. 四边形ABCD面积有最小值D. 四边形ABCD面积有最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦定理可求出角，进而求出，即可判断AB；先求出的关系，再在中，利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式结合三角函数即可判断CD.
【详解】在中，因为，
所以，
即，
又，所以，
在中，因为，则，
所以，则，故AB正确；
在中，，
中，，
四边形ABCD面积
，其中（为锐角），
又，
所以，
因为函数在上递增，在上递减，
所以四边形ABCD面积有最大值，无最小值，故C错误，D正确.

故选：ABD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为__________（用坐标表示）．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得向量在向量上的投影向量.
【详解】向量在向量上的投影向量为
.
故答案为：.
13. 定义：，两个向量的叉乘的模．若点、，O为坐标原点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】依题意首先求出、根据，求出，再根据所给定义计算可得；
【详解】解：因为、，所以、，
所以，，，所以，
因为，所以，
所以
故答案为：
14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意求出角的大小，再结合角平分线的长度得到的关系，再结合基本不等式求出的最小值
【详解】因为，由正弦定理得，
因为，所以，故，
如图所示，则的面积为，
即即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，的最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解；
（2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，，
又，所以，
又，所以，故，所以.
【小问2详解】
由余弦定理得，所以，
故．
16. 已知平面向量，.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若与的夹角为锐角.求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）设出，利用平行关系和模长列出方程组，求出，得到答案；
（2）写出，根据与的夹角为锐角，得到方程和不等式，求出实数的取值范围..
【小问1详解】
设，，
因为，所以6x＝－y，因为，所以，
解得或，所以或；
【小问2详解】
，，
因为与的夹角为锐角，所以，，
解得且，即.
17. 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理分析运算；
（2）利用正弦定理进行边化角，在结合三角恒等变换及余弦函数分析运算.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，整理得，
所以，
且，故.
【小问2详解】
因为，可得，
则
，
因为，所以，则
所以，即．
18. 第31届世界大学生夏季运动会将于2022年6月在成都举行，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为五边形ABCDE（如图），根据自行车比赛的需要，需预留出AC，AD两条服务车道（不考虑宽度），DC，CB，BA，AE，ED为赛道，已知，，，，______．（注：km为千米）
请从①；②这两个条件中任选一个，补充在题干中，然后解答补充完整的问题．
（1）求服务通道AD的长；
（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED的最大值（即最大）．
注：如果选择两个条件解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选择条件①由正弦定理得，选择条件②由余弦定理得，再结合余弦定理可得AD的长；
（2）根据余弦定理结合均值不等式即可求角线段和最大值．
【小问1详解】
解：若选择条件①，
在△ABC中，由正弦定理得：，即，
解得；
若选择条件②，
在△ABC中，由余弦定理得：
即
解得；
在△ACD中，由余弦定理得，
即
解得或（舍去）∴服务通道AD的长为．
【小问2详解】
在△ADE中，由余弦定理得：，
∴，即，
∵，
∴，∴（当且仅当时取等号）
∴折线赛道AED的最大值为．
19. 如图，设 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c＝1且2csinAcsB＝asinA﹣bsinBbsinC，cs∠BAD．
（1）求b边的长度；
（2）设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且的面积为面积的一半，求的最小值.
【答案】（1）4 （2）2
【解析】
【分析】（1）根据2csinAcsB＝asinA﹣bsinBbsinC，利用正弦定理和余弦定理化简求解；
（2）设 利用D为中点，得到，两边平方，设，结合，求得，进而得到，
再根据的面积为面积的一半，得到，然后利用E，G，F共线和基本定理，利用数量积运算求解.
【小问1详解】
解：因为2csinAcsB＝asinA﹣bsinBbsinC，
所以，
所以，
化简得：4c＝b，又c＝1，
所以b＝4．
小问2详解】
设，
因为D为中点，所以，设，
则，
所以，而，
所以，
即，解得或，
因为，所以，，
所以，
因为的面积为面积的一半，
所以，即，
设，
则，
又E，G，F共线，设，
则，
所以：，解得：，
所以：，又，
所以,
，
又xy＝2，
化简得： ，
又y≤4，所以，
所以，当x＝1时等号成立．