中考数学专题复习第13讲 二次函数的图像与性质(练习)(解析版)

这是一份中考数学专题复习第13讲 二次函数的图像与性质(练习)(解析版)，共91页。
TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc186053997"
\l "_Tc186053998" ?题型01 根据二次函数解析式判断其性质
\l "_Tc186053999" ?题型02 根据二次函数的图像与性质求解
\l "_Tc186054000" ?题型03 求二次函数解析式
\l "_Tc186054001" ?题型04 画二次函数的图像
\l "_Tc186054002" ?题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的解析式
\l "_Tc186054003" ?题型06 二次函数的平移变换问题
\l "_Tc186054004" ?题型07 二次函数的对称变换问题
\l "_Tc186054005" ?题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围
\l "_Tc186054006" ?题型09 二次函数的最值问题
\l "_Tc186054007" ?题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围
\l "_Tc186054008" ?题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围
\l "_Tc186054009" ?题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围
\l "_Tc186054010" ?题型13 二次函数的图像与各项系数符号
\l "_Tc186054011" ?题型14 根据二次函数的图像判断式子符号
\l "_Tc186054012" ?题型15 函数图像综合
\l "_Tc186054013" ?题型16 已知一元二次方程根的分布情况求参数
\l "_Tc186054014" ?题型17 二次函数与坐标系交点问题
\l "_Tc186054015" ?题型18 二次函数与方程、不等式
\l "_Tc186054016" ?题型19 二次函数与三角形相结合的应用方法
\l "_Tc186054017"
\l "_Tc186054018"
?题型01 根据二次函数解析式判断其性质
1．（2024·云南昆明·一模）关于二次函数y=−2x+22−3的图象与性质，下列说法正确的是( )
A．对称轴是直线x=2，最小值是−3
B．对称轴是直线x=2，最大值是−3
C．对称轴是直线x=−2，最小值是−3
D．对称轴是直线x=−2，最大值是−3
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数y=a(x−ℎ)2+k的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质解答．
【详解】解：二次函数y=−(x+2)2−3，
对称轴为直线x=−2，开口向下，最大值为−3，
故选：D．
2．（2024·四川乐山·二模）如图，二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A−3,0，B，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线x=−12B．抛物线的顶点坐标为−12,−6
C．A，B两点之间的距离为5D．当x>−12时，y的值随x值的增大而增大
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把A−3,0代入函数解析式可得y=x2+x−6=x+122−254，据此可得抛物线开口向上，对称轴为直线x=−12，顶点坐标为−12,−254，即可判断A、B、D；把y=0代入函数解析式求出B点坐标即可判断C；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A−3,0，
∴9a−3−6=0，
∴a=1，
∴y=x2+x−6=x+122−254，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−12，顶点坐标为−12,−254，
∴当x>−12时，y的值随x值的增大而增大，
故A、D正确，B错误；
令y=0，则x2+x−6=0，
解得x1=−3，x2=2，
∴B2,0，
∴A，B两点之间的距离为2−−3=5，
故C正确，不合题意；
故选：B．
3．（2024·贵州·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．二次函数图象关于直线x=1对称
B．−1和3是方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根
C．当xx1，x22−x12=x2+x1x2−x1>0，
综上所述，选项D不正确，
故选：D
8．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y=4，与二次函数y=x2和y=ax2分别交于A、B和C、D四个点，此时，CD=2AB，把直线y=4向上平移bb>0个单位，则CD与AB之间的关系是（ ）
A．CD=2ABB．随着直线y=4向上平移，CD>2AB
C．随着直线y=4向上平移，CD0个单位，得到直线y=4+b
∴把y=4+b代入y=x2中得，x2=4+b，
∴x=±4+b
∴AB=4+b−−4+b=24+b
把y=4+b代入y=14x2得，14x2=4+b，
∴x=±24+b
∴CD=24+b−−24+b=44+b
∴CD=2AB．
故选：A．
9．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数 y=ax²−6ax+c（a>0）的图象过 A−1,y1，B3,y2，C5,y3，D7，y4四个点， 则y1，y2，y3，y4大小关系为 ．
【答案】y1=y4>y3>y2
【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．先求函数y=ax²−6ax+c对称轴x=3，则A、B、C、D的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y1，y2，y3，y4的大小．
【详解】解∵二次函数 y=ax2−6ax+ca>0，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线x=3，
∴各个点到对称轴的距离越近越小，
∵A−1,y1，B3,y2，C5,y3，D7，y4且−1−3=7−3>5−3>3−3，
∴y1=y4>y3>y2，
故答案为：y1=y4>y3>y2．
10．（2024·广东广州·一模）已知A=m+4m+4m÷m+2m2．化简A；若点m,0是抛物线y=x2+2x−3上的一点，求A的值．
【答案】m2+2m，3
【分析】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性质是解题的关键．先计算括号内的加法，再计算除法即可化简A；再把点m,0代入得到m2+2m−3=0，则m2+2m=3，整体代入化简的A中计算即可．
【详解】解：A=m+4m+4m÷m+2m2
=m2m+4m+4m÷m+2m2
=m2+4m+4m÷m+2m2
=m+22m⋅m2m+2
=mm+2
=m2+2m；
∵点m,0是抛物线y=x2+2x−3上的一点，
∴m2+2m−3=0
∴m2+2m=3
∴A=m2+2m=3．
?题型03 求二次函数解析式
11．（2024·山东泰安·三模）将抛物线y=2x2先向下平移3个单位再向右平移m个单位，所得新抛物线经过点1,5，则新抛物线与y轴交点的坐标 ．
【答案】0,−1或0,15
【分析】本题主要考查了二次函数的平移，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的平移的规律是解题的关键．
设平移后新抛物线的表达式为y=2x−m2−3，把点1,5代入，即可确定函数关系式，再将x=0代入函数关系式求解，即可．
【详解】设平移后新抛物线的表达式为y=2x−m2−3，
∵新抛物线经过点1,5，
∴21−m2−3=5，
解得：m1=−1，m2=3，
∴新抛物线的表达式为：y=2x+12−3，或y=2x−32−3，
将x=0代入y=2x+12−3，
得：y=−1；
将x=0代入y=2x−32−3，
得：y=15，
∴与y轴的交点坐标为0,−1，或0,15．
故答案为：0,−1或0,15．
12．（2024·广东·二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A−3,0，B5,0两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，当∠DCO+∠DBO=180°时，a= ．
【答案】−12
【分析】根据A−3,0，B5,0两点可求出抛物线解析式y=ax2−2ax−15a，进而求得点C、点D的坐标，过点D作DM⊥y轴交有y轴于点M，过点D作DN⊥x轴交有x轴于点N，证得△DMC∽△DNB，进而计算即可．
【详解】解：过点D作DM⊥y轴交y轴于点M，过点D作DN⊥x轴交x轴于点N，如图
∵抛物线y=ax2+bx+c过A−3,0，B5,0两点
∴9a−3b+c=025a+5b+c=0
解得b=−2ac=−15a
∴y=ax2−2ax−15a
∴C−15a,0，D1,−16a
又∵∠DCO+∠DBO=180°，∠DCO+∠DCM=180°
∴∠DCM=∠DBO
∵DM⊥y轴，DN⊥x轴
∴∠DMC=∠DNB=90°
∴△DMC∽△DNB
∴DMDN=MCNB
∴1−16a=−16a−−15a5−1
解得a=±12
∵抛物线图象开口向下
∴a=−12
故答案为：−12．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
13．（23-24九年级上·吉林·期中）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y=−2x2+9x相同，且它的顶点坐标为−1,6，则这条抛物线的解析式为 ．
【答案】y=−2x+12+6
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，先设顶点式y=ax+12+6，然后根据二次函数的性质确定a的值即可，根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式是解决此题的关键．
【详解】∵抛物线的顶点坐标为−1,6，
∴抛物线解析式可设为y=ax+12+6，
∵抛物线y=ax+12+6的形状、开口方向均与抛物线y=−2x2+9x相同，
∴a=−2，
∴所求抛物线的解析式为y=−2x+12+6．
故答案为：y=−2x+12+6．
?题型04 画二次函数的图像
14．（2022·江西赣州·模拟预测）已知抛物线L1：y=x2+2kx+k−2的顶点为M．
(1)当k=2时，抛物线的对称轴是 ；顶点M坐标是 ；当函数值y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为 ；
(2)若抛物线L1：y=x2+2kx+k−2关于直线y=−k轴对称后得到新的抛物线L2，其顶点M'(x,y)．
①当k=−1时，请在图中画出相应的L1，L2图象；
②求顶点M'的纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
③直接写出当k为何值时，顶点M'恰好落在x轴上．
【答案】(1)直线x=−2；−2，−4；x≤−2
(2)①见解析；②y=x2+3x+2；③k=1或k=2
【分析】（1）把k=2代入y=x2+2kx+k−2，得出y=x2+4x=x+22−4，然后写出对称轴和顶点坐标；根据函数的增减性，写出函数值y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围即可；
（2）①当k=−1时，得出抛物线的解析式为L1：y=x2+2x−1=x+12−2，顶点坐标为M−1,−2，此时对称轴为直线y=1，点M关于直线y=1的对称点为M'−1,4，求出抛物线L2的解析式，然后列表，描点，连线画出抛物线的解析式即可；
②先求出抛物线L1的顶点坐标M−k,−k2+k−2，然后求出点M'的坐标，即可得出答案；
③根据x轴上的点，纵坐标为0，列出关于k的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵k=2，
∴y=x2+4x+2−2
=x2+4x
=x+22−4，
∴抛物线的对称轴为直线x=−2，顶点为−2，−4，
∵此时a=1>0，
∴在抛物线的左侧函数值y随x的增大而减小，
∴当x≤−2时，函数值y随x的增大而减小，
故答案为：直线x=−2；−2，−4；x≤−2．
（2）解：①当k=−1时，抛物线L1：y=x2+2x−1=x+12−2，
∴抛物线的顶点M−1,−2，
∵M点关于直线y=1的对称点为M'−1,4，
∴抛物线L2：y=−x+12+4=−x2−2x+3，
列表为：
抛物线L1，L2图象，如图所示：
②∵抛物线L1：y=x2+2kx+k−2=x+k2−k2+k−2，
∴的顶点为M−k,−k2+k−2，
∴M点关于直线y=−k对称的点M'−k，k2−3k+2，
∴顶点M'的纵坐标y与横坐标x之间的关系式为y=x2+3x+2；
③当顶点M′恰好落在x轴上时，k2−3k+2=0，
解得k=1或k=2．
【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，对称轴，画抛物线的图像，解题的关键是根据对称性求出抛物线L2的顶点坐标M'．
15．（2024·河南安阳·模拟预测）操作与探究：已知点P是抛物线y=−x2−2x+3上的一个动点．
(1)在如图的平面直角坐标系xOy中画出函数y=−x2−2x+3的图象；
(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值y≥0时，自变量x的取值范围是 ；
②方程x−1x=−2的根是 （结果保留一位小数）；
③当x