四川省仁寿第一中学校南校区2024届高三下学期高考模拟考试（四）文科数学试题

这是一份四川省仁寿第一中学校南校区2024届高三下学期高考模拟考试（四）文科数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
3．若角的终边位于第二象限，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．若复数满足，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．2
5．同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的C的放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变．经研究发现，动植物死亡后的时间n（单位：年）与死亡n年后的含量满足关系式（其中动植物体内初始的含量为）．现在某古代祭祀坑中检测出一样本中的含量为原来的70%，可以推测该样本距今约（参考数据：，）（ ）
A．2750年B．2865年C．3050年D．3125年
6．在中，“”是“是钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12，若x，y均小于4，则该样本的方差最小时，x，y的值分别为（ ）
A．1，3B．11，13C．2，2D．12，12
9．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
10．已知，是双曲线（，）的左，右焦点，点（）是双曲线E上的点，点C是内切圆的圆心，若，则双曲线E的渐近线为（ ）
A．B．C．D．
11．已知三棱锥的顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为，，，，则当三棱锥的体积最大时，（ ）
A．4B．C．5D．
12．已知a，b，，且，，，其中e是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．若抛物线过点，则该抛物线的焦点为．
14．曲线在点处的切线方程为．
15．在中，，，，则BC边上的高为．
16．如图，在平行四边形中，，且交于点，现沿折痕将折起，直至满足条件，此时.

三、解答题（共70分）
17．（本小题12分）在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
（1）B的大小；
（2）的面积．
条件①：；条件②：．
18．（本小题12分）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数：
(2)将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.
（i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？
（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.
参考公式：，其中．
参考数据：
19．（本小题12分）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)证明平面，并求直线到平面的距离.
青年
非青年
合计
喜欢
20
不喜欢
60
合计
200
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
20．（本小题12分）已知椭圆C：（，）的长轴为双曲线的实轴，且椭圆C过点P（2，1）．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为，，且，当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程．
21．（本小题12分）已知函数，其中实数．
(1)求证：函数在处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标；
(2)若函数有两个零点，且，求a的取值范围．
（选做题）
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．
(1)写出直线和曲线的直角坐标方程；
(2)若与有公共点，求的取值范围．
23．已知函数，．
（1）当时，求不等式的解；
（2）对任意．关于x的不等式总有解，求实数a的取值范围．
高三下学期高考模拟考试（四）文科数学参考答案：
1．C
【分析】根据不等式的解法和指数函数的性质，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】由不等式，解得，即，
又由，解得，即，所以.
故选：C．
2．B
【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径和母线长，结合侧面积公式，即可求解.
【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，
因为圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，可得，
所以该圆锥的侧面积为.
故选：B．
3．D
【分析】根据已知条件利用诱导公式确定，再根据角所属象限确定，即可求解.
【详解】由诱导公式有：，
因为角的终边位于第二象限，则，
所以.
故选：D.
4．B
【分析】先确定在复平面上对应的点的轨迹为圆，根据圆的性质可得答案.
【详解】设（为虚数单位），
有，即，
在复平面上对应的点在圆上，
所以是该圆上的点到原点距离的最小值，的最小值为.
故选：.
5．B
【分析】根据题意，求得，代入关系式，运用对数的运算性质计算即得.
【详解】依题意，经过n年后含量为，所以有，代入关系式得，，所以.
故选:B．
6．C
【分析】由向量减法以及模的运算公式平方可得，结合数量积的几何意义即可得解.
【详解】“”等价于“”，
所以
从而，显然A，B，C不共线，原条件等价于是钝角.
故选：C．
7．C
【分析】设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率.
【详解】设甲船到达泊位的时间为，乙船到达泊位的时间为，则，
这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待，则，
画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分，
，
则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为.
故选：C
8．C
【分析】由题意结合中位数可得，再求出平均数，再根据方差公式即可得解.
【详解】因为x，y均小于4，由茎叶图可知，中位数为，
所以，样本的平均值为，
要使样本的方差最小，即使最小，
又，当且仅当“”时，等号成立，
所以x，y均为2.
故选：C．
9．C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
10．A
【分析】根据面积关系可得，即可由双曲线定义得，进而可求解.
【详解】解：设内切圆的半径为r，则有，
所以，由双曲线的定义可知，继而，
E的渐近线为，化简为，
故选：A．
11．D
【分析】设是的外心，即可得到，再根据球的表面积求出球的半径，即可得，当且仅当、、三点共线且平面和点位于点异侧时，三棱锥的体积最大，再由勾股定理计算可得.
【详解】在中，根据正弦定理，可得，所以．如图，
设为的外心，则为AC的中点，且，由于球O的表面积为，所以球O的半径，
当，，三点共线且平面CAB和点S位于点O的异侧时，
三棱锥的体积最大．此时
故选：D
12．B
【分析】由题设，构造且研究单调性，判断的范围，作差法比较大小，即可得答案.
【详解】由题设，，，
令且，则，即在上递增，
又，即，
由，令且，
则，又，
令且，则，即递减，所以，
所以，即在上递增，故，
即在上恒成立，故，
综上，，结合单调性知：.
故选：B
【点睛】关键点点睛：构造函数且研究单调性，再通过作差、构造函数判断大小，进而判断大小.
13．
【分析】根据题意，代入求得，结合抛物线的几何性质，即可求解.
【详解】解：将代入抛物线方程，可得，即，
所以抛物线的焦点为．
故答案为：.
14．
【分析】求出导函数，得，即切线斜率，然后可得切线方程．
【详解】由，则
由题意，则
所以曲线在点处的切线的斜率为
所以所求切线方程为：，即
故答案为：
【点睛】本题考查导数的几何意义，函数在点处的切线方程是．属于基础题.
15．/
【分析】首先求出，再利用正弦定理和余弦定理即可求出答案.
【详解】因为，，所以，
由正弦定理得，
由余弦定理，得，
解得（负值舍）
设BC边上的高为h，则．
故答案为：.
16．/-0.5
【分析】根据条件可得平面平面，求得相关线段长度后利用余弦定理求解即可.
【详解】由题意可知，所以，
折起后如图所示，因为，
又，则,
所以,
又,平面，
则平面，又平面,
则平面平面，
分别过点作的垂线，
垂足分别为点，又平面平面，
即有，同时易证得，
,
所以，所以由余弦定理可知:
.
故答案为：.

17．解析；（1）；（2）．
【分析】选择条件①时：（1）利用余弦定理求出和B的值；
（2）由正弦定理求出a的值，再利用三角形内角和定理求出sinC，计算的面积．
选择条件②时：（1）由正弦定理求出和B的值；
（2）由正弦定理求出a的值，再利用三角形内角和定理求出，计算的面积．
【详解】选择条件①：，
（1）由，得，
所以；
又，
所以；
（2）由正弦定理知，
所以；
所以，
所以的面积为．
选择条件②：．
（1）由正弦定理得，
所以；
又，
所以，
所以；
又，
所以；
（2）由正弦定理知，
所以；
所以，
所以的面积为．
【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
18．(1)45
(2)（i）列联表见解析；有；（ii）
【分析】（1）借助频率分布直方图及百分位数的性质计算即可得；
（2）（i）完善列联表后，计算卡方即可得；（ii）借助分层抽样的性质可得抽取8人中居民类别，再结合组合数的计算与概率公式计算即可得.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
年龄在40岁以下的居民所占比例为，
年龄在50岁以下的居民所占比例为，
所以分位数位于内，
由，
所以，样本数据的分位数为45；
（2）（i）由题知，列联表为：
根据列联表中的数据，可得：
所以，有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联；
（ii）按照分层抽样，青年居民应抽取人，非青年居民应抽取2人．
设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为，
，
，
所以，
所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析，
【分析】（1）利用线面垂直的性质，得到，根据条件及线面垂直的判定定理得到平面，从而有，再根据条件得到，由线面垂直的判定定理，得到平面，即可证明结果；
（2）根据条件有，利用线面平行的判定定理，即可证明结果；利用平面，将线到面的距离转化成点到面的距离，再利用等体积法，即可求出结果.
【详解】（1）因为平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
又，为中点，所以，又，平面，
所以平面，又平面，故平面平面.
（2）由题，分别为，中点，故，
又平面，平面，故平面，
则直线到平面的距离为点到平面的距离.
由为中点，所以，记为，，
又，所以，
由（1）知，平面，故，，，
由题知，，，
所以，
而，
所以.
.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得解方程组可求出，从而可求出椭圆方程，
（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，，，将直线方程代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系，然后由列方程可求出，则直线的方程为，从而可得其过定点，②当直线的斜率不存在时，设，则，由可求出两点的坐标，从而可求出直线过的定点，进而可求出直线方程
【详解】（1）由题意，知解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，，．
联立得．
由韦达定理，得所以
因为
，所以，即，
所以直线的方程为，即，
由，得
故直线恒过点．
②当直线的斜率不存在时，设，则，
所以，解得，
所以此时直线也过点．因为点在椭圆的内部，
所以当直线垂直于时，坐标原点到直线的距离最大，
此时直线的方程为．
21．(1)证明见解析，定点
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式求出切线方程，即可求出切线过定点坐标；
（2）首先求出函数的导函数，再分和两种情况，当时，依题意，即可求出的大致范围，再根据零点存在性定理得到零点所在区间，依题意可得，即可得到，则，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围；
【详解】（1）解：因为，所以，所以，又，所以切线方程为，即，则当时，所以切线恒过定点；
（2）解：因为定义域为，所以，当时恒成立，所以在上单调递增，故不可能有两个零点，故舍去；
当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，要使有两个零点，则，解得，又，所以当时，在和上各有一个零点，且，
，由单调性知，当时，当时，因为，所以，即，所以，而，所以，所以，令，，则，所以在上单调递增，所以，所以；
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
22．(1)；
(2).
【分析】（1）根据参数方程、极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）联立l与C的方程，结合二次函数的性质求解m的范围即可.
【详解】（1）因为l：，所以，
又因为，所以化简为，
因为，整理得C的直角坐标方程：；
（2）联立l与C的方程，
即在时有交点即可，
易知对称轴为，由二次函数的单调性可知：，
所以，
故
即m的取值范围为.
23．（1）；（2）．
【分析】（1）讨论绝对值内的正负号,解不等式，即可得出答案.
（2）由题意可知，结合与，即可解出答案.
【详解】（1）由已知，不等式即为，
则或或
解得或或，故不等式的解集为．
（2）对任意，关于x的不等式总有解
而，当且仅当，即时取最小值，
又（当且仅当时取等号）
故只需，得，即实数a的取值范围为．
【点睛】本题考查绝对值不等式，分类讨论是解绝对值不等式基础方法，解本题还需注意区分不等式有解与恒成立问题.属于中档题.
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