2021-2022学年黑龙江哈尔滨南岗区七年级下册数学期末试卷及答案

这是一份2021-2022学年黑龙江哈尔滨南岗区七年级下册数学期末试卷及答案，共25页。
2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区城内。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效。
4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且含有的未知数的项的次数为，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、不是整式方程，不符合题意；
B、方程组中含有三个未知数，不符合题意；
C、方程组中含有两个未知数，每个未知数的次数为，符合题意；
D、方程组中含有两个未知数，中未知数的次数为，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握含有两个未知数，且含有的未知数的项的次数为的方程是解题的关键．
2. 下列图形中具有稳定性的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形具有稳定性，即可对图形进行判断．
【详解】解：A、中间竖线的两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；
B、对角线下方是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；
C、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故本选项正确；
D、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是利用三角形的稳定性判断．
3. 若，则下列不等式中，不成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A．∵m＞n，
∴m﹣5＞n﹣5，
故选项不符合题意；
B．∵m＞n，
∴m+4＞n+4，
故选项不符合题意；
C．∵m＞n，
∴6m＞6n，
故选项不符合题意；
D．∵m＞n，
∴﹣m＜﹣n，
故选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
4. 初二年级位同学参加学校举行的诗歌朗诵比赛，其成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛，小东已知自己的成绩，想判断能否进入决赛，还需知道这位同学成绩的（ ）
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数的定义判定即可．
【详解】参加歌唱比赛的位同学成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛，小东要知道自己是否进入决赛，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较，所以需知道位同学成绩的中位数是多少．
故选：C．
【点睛】此题主要考查数据集中趋势中的平均数、众数、中位数以及方差在实际问题中的正确应用，解题的关键是中位数在生活中的应用．
5. 下列长度的线段能组成三角形的是（ ）
A. 3、4、8B. 5、6、11C. 5、6、10D. 3、5、10
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行分析即可得出答案．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：
A.因为，所以不能组成三角形，故不符合题意；
B.因为，所以不能组成三角形，故不符合题意；
C.因为，所以能组成三角形，故符合题意；
D.因为，所以不能组成三角形，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
6. 若，则的值为( )
A. -3B. -2C. -1D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出的值．
【详解】解：∵，
∴，
①-②得：，
把代入①得： ，
则，
故选：A
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
7. 如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．
【详解】选项A，添加，
在和中，
，
∴≌（ASA），
选项B，添加，
在和中，，，，无法证明≌；
选项C，添加，
在和中，
，
∴≌（SAS）；
选项D，添加，
在和中，
，
∴≌（AAS）；
综上，只有选项B符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
8. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
【答案】B
【解析】
【分析】多边形的外角和是，则内角和是．设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程，从而求出边数的值．
【详解】解：设这个多边形是边形，根据题意，得
，
解得：．
故这个多边形是六边形．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．
9. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行．问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设有辆车，人数为，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设有辆车，人数为人，依题意得：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10. 如图，在中，，AD是的角平分线，，，则的面积为( )
A. 30B. 18C. 15D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】要求△ABD的面积，现有AB＝10可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．
【详解】解：作DE⊥AB于点E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，，
∴DE＝CD＝3．
∴△ABD的面积为 ×AB×DE＝×10×3＝15．
故选：C．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质定理，作出并求出三角形AB边上的高是解答此题的关键．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共计18分）
11. 把方程写成用含x的式子表示y的形式________．
【答案】
【解析】
【分析】将x看作已知数求出y,将y看作已知数求出x即可．
【详解】解：方程，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
12. 不等式组的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式解集的公共部分即可．
【详解】解：
解不等式①得，x＜4，
解不等式②得，x＞2，
∴不等式组的解集是．
故答案为：
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
13. 甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为___（填或）．

【答案】
【解析】
【分析】根据气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小，即可求解．
【详解】解：观察平均气温统计图得：乙地的平均气温比较稳定，波动较小；
∴乙地的日平均气温的方差小，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题的关键．
14. 有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，那么3辆大货车与5辆小货车一次可以运货______吨．
【答案】24.5
【解析】
【分析】设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据“2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（3x+5y）中即可求出结论．
【详解】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，
依题意得：，
解得：，
∴3x+5y＝3×4+5×2.5＝24.5，
∴3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5吨．
故答案为：24.5．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15. 若一组数据1，x，7，7，9，10的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数为______．
【答案】7.5
【解析】
【分析】直接根据平均数、众数和中位数的概念求解即可．
【详解】解：在这一组数据中7是出现次数最多的，故众数是7；
根据题意得：＝7，
解得x=8．
将这组数据从小到大排列：1，7，7，8，9，10，
则这组数据的中位数是=7.5．
故答案为：7.5．
【点睛】本题主要考查了平均数、众数与中位数的意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
16. 在中，，AH是BC边上的高，若，则的度数为______度．
【答案】30或90
【解析】
【分析】分∠ABC是钝角和锐角两种情况，画出图形，分别进行求解即可．
【详解】解：如图1，
∵AH是BC边上的高，
∴AH⊥BC，
∴∠AHC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CAH＝90°－∠C＝60°，
∵＝30°，
∴∠BAC＝∠CAH－∠BAH＝30°，
如图2，
∵AH是BC边上的高，
∴AH⊥BC，
∴∠AHC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CAH＝90°－∠C＝60°，
∵∠BAH＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝∠CAH＋∠BAH＝90°，
综上所述，∠BAC＝30°或90°，
故答案为：30或90．
【点睛】此题主要考查了三角形的高、直角三角形的性质、角的相关计算等知识，是基础题，分类讨论思想是解题的关键．
三、解答题（其中17—19题各6分，20—22题各8分，23—25题各10分，共计72分）
17. 解方程组；
【答案】
【解析】
【分析】应用代入消元法解方程组即可．
【详解】解：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
所有方程组解是：；
【点睛】本题考查用代入消元法解二元一次方程组，解答关键是按照相关步骤进行计算．
18. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.
【答案】不等式的解集为，画图见解析
【解析】
【分析】先去分母，然后移项、合并同类项，系数化为1，进而可求出不等式的解集；然后将其解集在数轴上表示出来即可．
【详解】原不等式可化为：
4x-2≤3x-4，
4x-3x≤-4+2，
x≤-2．
在数轴上可表示为：
【点睛】一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，步骤大致为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；它们不同点在于不等式左右两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向要改变．
19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出的边AC上的高BD；
（2）在图中画出（1）中的的角平分线DE．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可；
（2）由正方形网格的特点可以判断△BCD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形三线合一的性质作出图形即可．
【小问1详解】
解：如图，线段BD即为所求；
【小问2详解】
解：如图，线段DE即为所求．
【点睛】此题主要考查作图、三角形的高、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20. 一家公司打算招聘一名英文翻译．对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩（百分制）如表所示．
（1）如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩（百分制）．从他们的成绩看，应该录取谁？
（2）如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，计算两名应试者的平均成绩（百分制）．从他们的成绩看，应该录取谁？
【答案】（1）录取甲；（2）录取乙
【解析】
【分析】（1）分别计算出甲、乙两人的平均成绩，即可求解；
（2）根据听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比，分别计算甲、乙两人的加权平均数，即可求解．
【详解】解：（1）甲的平均成绩为：
，
乙的平均成绩为：
，
因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲．
（2）甲的平均成绩为：
，
乙平均成绩为：
．
因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙．
【点睛】本题主要考查了利用算术平均数和加权平均数做决策，根据题意分别求出算术平均数和加权平均数是解题的关键．
21. 已知，，，垂足分别为E，F，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接AD交BC于点G，请直接写出图2中以点G为一个端点的相等线段．
【答案】（1）证明见解析
（2）GE＝GF，GD＝GA，GC＝GB．
【解析】
【分析】（1）由AE⊥BC，DF⊥BC，得出∠AEB＝∠CFD＝90°，再由BE＝CF，AB＝DC得Rt△AEB≌Rt△DFC；
（2）由（1）得∠DFG＝∠AEG，DF＝AE，容易得到△DFG≌△AEG，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴（HL）
∴．
【小问2详解】
解：由（1）得∠DFG＝∠AEG，DF＝AE，
在△DFG和△AEG中，
，
∴△DFG≌△AEG（AAS）
∴GE＝GF，GD＝GA，
∵BE＝CF，
∴GC＝GB，
∴以点G为一个端点的相等线段是GE＝GF，GD＝GA，GC＝GB．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解决问题的关键．
22. 学校为增强学生的身体素质，丰富学生的课余生活，为学生购买了排球和篮球．若买5个排球和4个篮球需要800元，若买4个排球和6个篮球需要920元．
（1）每个排球和篮球的售价分别是多少元？
（2）若学校打算购买排球和篮球共60个，购买的费用不超过5300元，则最多购买篮球多少个？
【答案】（1）每个排球80元，每个篮球100元．
（2）最多购买篮球25个
【解析】
【分析】（1）设每个排球的售价是x元，每个篮球的售价是y元，根据“买5个排球和4个篮球需要800元；买4个排球和6个篮球需要920元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买篮球m个，则购买排球（60﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过5300元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设每个排球和篮球售价分别是x元，y元
根据题意得，，
解得，，
答：每个排球80元，每个篮球100元．
【小问2详解】
解：设购买篮球m个
根据题意得，，
，
答：最多购买篮球25个．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛.为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：
①收集数据
从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：
81 83 84 85 86 87 87 88 89 90
92 92 93 95 95 95 99 99 100 100
②整理、描述数据．
按下表分段整理描述样本数据：
③分析数据．
两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，______同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；
（3）从样本数据分析来看，分数较整齐的是______年级（填“七”或“八”）；
（4）如果七年级共有500人参赛，请你估计七年级参赛学生的分数不低于95分的人数．
【答案】（1），，
（2）甲 （3）八
（4）估计七年级参赛学生的分数不低于95分的人数为200人
【解析】
【分析】（1）根据七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数可得a＝6，第10，11名学生的成绩为90分，92分，即可求出b的值，95分出现了3次，次数最多，可得c的值；
（2）根据八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，可得90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，进而可得结论；
（3）根据方差进行评价即可作出判断；
（4）用七年级不低于95分的比例乘以总人数即可．
小问1详解】
解：∵七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，
∴a＝20﹣3﹣4﹣7＝6，
八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分，
∴b＝（分），
八年级成绩的95分出现了3次，次数最多，
∴c＝95，
故答案为：6，91，95；
【小问2详解】
解：甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，
∴90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，
∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；
故答案为：甲；
【小问3详解】
解：∵八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
∴分数较整齐的是八年级，
故答案为：八；
【小问4详解】
解：∵样本中七年级不低于95分的有8人，
∴500×＝200（人），
答：估计七年级参赛学生的分数不低于95分的有200人．
【点睛】本题考查频数分布表、用样本估计总体、方差、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
24. 在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：
为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据定义为如表2：
定义：对于任意正整数m、n，其中．若，则．如：表示，即．
（1）通过观察表2，猜想用含n的代数式分别表示，；
（2）用含的代数式表示，计算鞋号为40的鞋适合的脚长范围；
（3）若脚长为257毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
【答案】（1），
（2），鞋号为40的鞋适合的脚长范围是
（3）应购买41号的鞋
【解析】
【分析】（1）观察表格里的数据，可直接得出结论；
（2）把n用含有an的式子表示出来，代入化简整理，再计算鞋号为40对应的n的值，代入求解即可；
（3）首先计算，再代入求出的值即可．
【小问1详解】
解：，
．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴
把代入得，
∴，
则，即
答：鞋号为40的鞋适合的脚长范围是．
【小问3详解】
解：∵，n为正整数，
∴能被5整除，
∵，
∴，
将代入中得，
答：应购买41号的鞋．
【点睛】本题主要考查了方程与不等式的应用，读懂题意是解题的关键．
25. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）【模型呈现】如图，AD为的中线，交AD的延长线于点E，求证：．
（2）【模型应用】如图，在四边形ABCD中，，E是BC中点，连接AE，DE，AE平分，求证：DE平分．
（3）【拓展探索】如图，在中，，于点D，过点B作交的平分线于点E，过点E作交BC于点F，若，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据平行线的性质可得，根据AD为的中线，可得，据此即可证得，即可证得结论；
(2)过点E分别作于点F，于点G，交DC的延长线于点H，首先由角平分线的性质可得，再根据垂直的定义及平行线的性质，可证得，，据此即可证得，即可证得结论；
(3)延长AB交FE延长线于点G，过点G作交CB的延长线于点H，首先由，AE平分，可得，可求得，据此即可证得，可得，，可证得，，据此可证得，，，再根据斜边直角边定理，可证得，据此即可证得结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴
∵AD为的中线，
∴，
在和中，

∴，
∴．
【小问2详解】
证明：如图，过点E分别作于点F，于点G，交DC的延长线于点H．
又∵AE平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴
在和中，

∴，
∴，
∴，
∴DE平分；
【小问3详解】
证明：如图，延长AB交FE延长线于点G，过点G作交CB的延长线于点H．
∵，AE平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
应试者
听
说
读
写
甲
85
78
85
73
乙
73
80
82
83
分数x
七年级
4
6
2
8
八年级
3
a
4
7
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91
89
97
409
八年级
91
b
c
33.2
鞋号（正整数）
22
23
24
25
26
27
…
脚长（毫米）
…
序号n
1
2
3
4
5
6
…
鞋号
22
23
24
25
26
27
…
脚长
…
脚长
160
165
170
175
180
185
…