数学公式法随堂练习题

这是一份数学公式法随堂练习题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（ ）
A．3B．±3C．6D．±6
3．下列各式分解因式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列因式分解变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列多项式中，完全平方式是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，，则的值是（ ）
A．实数B．正实数C．负实数D．非负实数
7．下列各式可以用完全平方公式因式分解的是( )
A．B．
C．D．
8．下列各式能用完全平方公式分解因式的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足，则此三角形是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定
10．关于的多项式的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（）
①②③④⑤⑥⑦
A．4个B．5个C．6个D．7个
12．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
13．分解因式：4﹣12（a﹣b）+9（a﹣b）2＝（ ）
A．（2+3a﹣3b）2B．（2﹣3a﹣3b）2C．（2+3a+3b）2D．（2﹣3a+3b）2
14．若多项式x2﹣3（m﹣2）x+36能用完全平方公式分解因式，则m的值为（ ）
A．6或﹣2B．﹣2C．6D．﹣6或2
15．若a，b为实数，且，则（ ）
A．8B．-8C．-16D．16
二、填空题
16．分解因式：______．
17．若+y2﹣4y+4＝0，则x＝_____，y＝_____．
18．设，求的值________．
19．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程
解：设，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的________（填选项）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后，________；（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果___________．
20．已知，，______．
21．分解因式：_____________．
22．体育课上，甲、乙两班学生进行“引体向上”身体素质测试，测试统计结果如下：
甲班：全班同学“引体向上”总次数为；
乙班：全班同学“引体向上”总次数为 ．（注：两班人数均超过30人）
请比较一下两班学生“引体向上”总次数，__________班的次数多，多__________次．
23．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．
24． ________ =（____）2；
25．已知为等腰三角形ABC，其中两边满足，，则的周长为_______________________
26．已知x﹣2＝，则代数式（x＋1）2﹣6（x＋1）＋9的值为_____．
27．因式分解:=______
28．因式分解:=______________
29．已知， 则_______．
三、解答题
30．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将化成的形式分解因式．
（2）求证：，取任何实数时，多项式的值总为正数．
31． 、、是的三边，且有
（1）求、的值
（2）若为整数，求的值
（3）若是等腰三角形，求这个三角形的周长
32．阅读材料
下面是某同学对多项式（x2−4x+2）（x2−4x+6）+4进行因式分解的过程．
设x2−4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2−4x+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底? ___（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（a2−2a）（a2−2a+2）+1进行因式分解．
参考答案
1．C
【分析】
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
【详解】
解：A.，故不符合题意；
B.不能分解，故不符合题意；
C.，故符合题意；
D.，故不符合题意；
故选C．
【点拨】
本题考查了分解因式，关键在于是否准确运用公式，还要注意分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
2．D
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【详解】
解：∵x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，
∴k=±6，
故选：D．
【点拨】
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．C
【分析】
根据因式分解的方法可直接进行排除选项．
【详解】
A.，故错误；
B.由因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，故该选项错误；
C.，故正确；
D.，∴，故错误；
故选C．
【点拨】
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
4．B
【分析】
根据提公因式分解因式可得出A错误；根据完全平方公式可得B正确；根据平方差公式可得C错误；根据十字相乘法可判断D错误．
【详解】
A.，故此选项错误；
B.，故此选项正确；
C.，故此选项错误；
D.，故此选项错误．
故选：B
【点拨】本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解．
5．C
【分析】
根据完全平方公式：，逐一判断即可．
【详解】
解：A.不符合完全平方式的特征，故不符合题意；
B.不符合完全平方式的特征，故不符合题意；
C.=，故本选项符合题意；
D.不符合完全平方式的特征，故不符合题意．
故选C．
【点拨】
此题考查的是完全平方式的判断，掌握完全平方公式的特征是解题关键．
6．D
【分析】
将两个代数式相减，再利用完全平方公式进行因式分解判断即可．
【详解】
，，
∴ ≥0，
故选：D．
【点拨】
本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式是关键．
7．D
【分析】
由完全平方公式：的特点逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】
解：由不符合公式特点，故A错误；
也不符合公式特点，故错误；
不符合公式特点，故C错误；
符合公式特点，故D正确；
故选．
【点拨】
本题考查的是利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键．
8．B
【分析】
完全平方式有两个，是a2+2ab+b2和a2-2ab+b2，根据以上式子判断即可．
【详解】
解：∵4x2-4xy-y2不是完全平方式，∴①错误；
∵是完全平方式，∴②正确；
∵是完全平方式，∴③正确；
∵不是完全平方式，∴④错误；
∵x2-8x+9不是完全平方式，∴⑤错误；
故选：B．
【点拨】
本题考查了完全平方公式的应用，注意：完全平方式有两个，是a2+2ab+b2和a2-2ab+b2．
9．A
【分析】
先移项，将等式右边化为0，再结合完全平方公式及平方数的非负性解题即可．
【详解】
是等边三角形，
故选：A．
【点拨】
本题考查因式分解的应用、等边三角形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．A
【分析】
利用完全平方公式对代数式变形，再运用非负性求解即可．
【详解】
解：原式＝
∵，，
∴原式≥－1，
∴原式的最小值为－1，
故选A．
【点拨】
本题考查完全平方公式的变形，以及平方的非负性，灵活运用公式是关键．
11．B
【分析】
利用完全平方公式及平方差公式的特征判断即可．
【详解】
解：（1）可用平方差公式分解为；
（2）不能用平方差公式分解；
（3）可用平方差公式分解为；
（4）可用平方差公式分解为﹣4am；
（5）可用平方差公式分解为；
（6）可用完全平方公式分解为 ；
（7）不能用完全平方公式分解；
能运用公式法分解因式的有5个，
故选B．
【点拨】
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解本题的关键．
12．A
【分析】
完全平方公式是指：，根据公式即可得出答案．
【详解】
解：．
故选A．
【点拨】
本题主要考查的完全平方公式，属于基础题型．理解公式是解决这个问题的关键．
13．D
【分析】
原式利用完全平方公式分解即可．
【详解】
解：原式
．
故选：D．
【点拨】
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．A
【分析】
根据完全平方公式即可求解．
【详解】
∵多项式x2﹣3（m﹣2）+36能用完全平方公式分解因式，
∴﹣3（m﹣2）＝±12．
∴m＝6或﹣2，
故选：A．
【点拨】
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知完全平方公式的特点．
15．C
【分析】
先由化为两个完全平方数和的形式，根据非负数相加等于0，所以各个非负数都为0进行解答．
【详解】
解；，即，
，
故，，
解得：，．
故．
故选：．
【点拨】
本题考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是掌握几个非负数相加等于0，各个非负数都为0．
16．
【分析】
利用完全平方公式分解即可
【详解】
故答案为：.
【点拨】
本题考查因式分解问题，掌握因式分解的方法，会根据具体的内容选用公式法进行因式分解是解题关键.
17．2 2
【分析】
根据算术平方根和偶次乘方的非负性得出x、y的值即可．
【详解】
∵，
∴，
∴x﹣y＝0，y﹣2＝0，
解得x＝2，y＝2，
故答案为：2，2．
【点拨】
本题考查非负数的性质和完全平方式．了解两个非负数相加等于0，则这两个非负数即为0是解答本题的关键．
18．
【分析】
根据公式法对原式进行因式分解，再整体代入即可计算．
【详解】
原式.
∵ ，
∴ 原式．
故答案为：．
【点拨】
本题考查公式法进行因式分解，灵活运用分解方法是解题关键．
19．C 否
【分析】
（1）根据两数和的完全平方公式即可得；
（2）根据两数差的完全平方公式即可得．
【详解】
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）否，最后结果求解如下：
原式，
，
，
故答案为：否，．
【点拨】
本题考查了利用换元法和完全平方公式进行因式分解，熟记完全平方公式是解题关键．
20．
【分析】
先对原式配成完全平方的形式，再结合条件代入计算即可．
【详解】
，，，
原式；
故答案为：．
【点拨】
本题考查了用因式分解的方式将式子配成完全平方式，进而代入求值，能够将题中的式子进行变形成含有条件的形式是解决问题的关键．
21．
【分析】
根据完全平方公式可直接进行求解．
【详解】
解：；
故答案为．
【点拨】
本题主要考查利用乘法公式进行因式分解，熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．
22．甲 （或）
【分析】
利用作差法比较与的大小关系即可得到答案．
【详解】
解：由
＞
＞，
＞
所以甲班的次数多，多次．
故答案为：甲，．
【点拨】
本题考查的是作差比较代数式的大小，同时考查了完全平方式的非负性，利用完全平方公式分解因式，掌握以上知识是解题的关键．
23．a2+2ab+b2=（a+b）2
【解析】
试题分析：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，
所以a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2．
点拨：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．
24．
【分析】
对等式左边根据完全平方和公式进行配对填空，等式右边直接根据完全平方和公式填空．
【详解】
解：等式左边根据完全平方和公式常数项应为，这样等式左边即为，即，所以等式右边空格应填．
故答案为：；．
【点拨】
本题考查完全平方和公式，熟练掌握完全平方和公式的结构特征是解题关键．
25．7或8
【分析】
先运用平方差公式将等式的前三项因式分解得，再根据非负性求出，的值，再代入求值即可．
【详解】
解：，
，
，，
当腰为3时，等腰三角形的周长为，
当腰为2时，等腰三角形的周长为．
故答案为：7或8．
【点拨】
此题考查了配方法的应用，三角形三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握完全平方公式．
26．2
【分析】
利用完全平方公式得到原式＝（x﹣2）2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：（x＋1）2﹣6（x＋1）＋9＝[（x＋1）﹣3]2
＝（x﹣2）2，
∵x﹣2＝，
∴原式＝（）2＝2，
故答案为2．
【点拨】
本题考查应用完全平方公式进行因式分解，进而利用整体代入法求代数式的值，灵活应用公式进行因式分解是关键．
27．
【解析】
根据完全平方公式进行因式分解为：.
故答案为：
.
28．
【解析】
根据完全平方公式进行因式分解为：=.
故答案为：.
29．0
【分析】
利用完全平方式的特点把原条件变形为，再利用几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0的结论可得答案．
【详解】
解：因为：
所以
所以
所以 ，解得
所以
故答案为0．
【点拨】
本题考查完全平方式的特点，非负数之和为0的性质，掌握该知识点是关键．
30．（1）；（2）见解析．
【分析】
（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）根据配方法把x2+y2-4x-6y+15变形成(x-2)2+(y-3)2+2，再根据平方的非负性，可得答案．
【详解】
（1）解：
；
（2）证明：
，
故，取任何实数时，多项式的值总为正数．
【点拨】
本题考查了配方法的应用、因式分解以及平方差公式，利用完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2配方是解题关键．
31．（1），；（2）或或；（3）12
【分析】
（1）由a2+b2=4a+10b−29，可得：（a−2）2+（b−5）2=0，利用非负数的性质求解a，b；
（2）再利用三角形三边的关系得到c的取值范围；
（3）分两种情况讨论，当a=2为腰时，当b=5为腰时，再结合三角形的三边的关系，确定三角形的三边，从而可得答案．
【详解】
解：（1）
，
（2）、、是的三边
又为整数
，，
（3）是等腰三角形，，
根据三边关系可知，只有当c=5时三角形才为等腰三角形，
故周长为：12
【点拨】
本题考查的是完全平方式的变形，非负数的性质，因式分解，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，掌握以上知识是解题的关键．
32．（1）不彻底．原式 =（x−2）4；（2）原式=（a−1）4．
【分析】（1）根据因式分解的步骤进行解答即可；
（2）设a2﹣2a＝y，再根据完全平方公式把原式进行分解即可．
【详解】解：（1）∵（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4，
∴该同学因式分解的结果不彻底．
故答案为：不彻底，（x﹣2）4．
（2）设a2﹣2a＝y，
原式＝y（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（a2﹣2a+1）2
＝（a﹣1）4．
【点拨】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式的应用．