河北省2024−2025学年高三下学期全过程纵向评价（四）数学试题（含解析）

这是一份河北省2024−2025学年高三下学期全过程纵向评价（四）数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．2B．4C．8D．16
2．已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，向量，若与的夹角为，则自然数（ ）
A．1B．3C．5D．9
4．数列的通项公式分别为，在数列中去掉两个数列的公共项后，小于25的项中质数占比为（ ）
A．B．C．D．
5．函数与的图象在上的交点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知球的体积为，在球的内部放置一个圆锥，则能放下的圆锥的最大体积是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若方程恰有四个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某市高三年级学生联考，学生的数学成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
A．该市高三年级学生的数学成绩的方差是5
B．从本次联考数学成绩中随机调查1名学生的成绩，分数大于120的概率比分数低于105的概率小
C．
D．从本次联考数学成绩中随机调查3名学生的成绩，至少有1个成绩低于110的概率为
10．以下选项正确的是（ ）
A．若等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的必要条件
B．函数的图像关于对称，则
C．函数在区间上的最小值为
D．数列的前项和
11．已知椭圆，过平面直角坐标系原点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点和点，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形一定有内切圆
B．四边形一定有外接圆
C．四边形面积的最小值为
D．四边形周长的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为 .
13．曲线在处的切线与直线垂直，则 .
14．在三棱锥中，为直角三角形，且平面，小明和小亮两名同学做游戏，第一次每人从三棱锥的表面中任取一个平面，取哪个平面相互独立，取出的两个平面若垂直，则游戏结束，否则游戏继续；第二次每人从三棱锥的棱中任取一条棱，取哪条棱相互独立，取出的两条棱若共面，则游戏结束，否则继续第一次的游戏操作；如此反复直到游戏结束，则游戏在第三次结束的概率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，角，，所对的边分别为，，，，且.
(1)求的大小；
(2)若边上的中线，求的周长.
16．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，是棱的中点，若侧棱底面，且直线与平面所成角的正弦值为.
(1)求的值；
(2)求平面与平面所成角的大小.
17．已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求四边形面积的最小值；
(3)证明：直线与直线的交点在定直线上.
18．已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若函数有三个零点，且，
①求的取值范围；
②判断的符号，并证明.
19．已知数列是无穷数列，且，的值为在，，，，中所出现的次数，记为数列的前项和.
(1)若，求；
(2)若，求数列的通项公式，并求的值；
(3)是否只有有限个数会在数列中出现无限次，请说明理由.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为集合，
，
则，所以的子集的个数：，
故选C.
2．【答案】C
【详解】，
则，
故选C.
3．【答案】D
【详解】由，可得，
整理可得：，解得或，故自然数.
故选D.
4．【答案】B
【详解】中的项依次为；
中的项依次为；
与的小于25的公共项为：4，16；
在数列中去掉与的公共项后，小于25的项有：；
其中质数有：，所以小于25的项中质数的占比为，
故选B.
5．【答案】D
【详解】由题意作出与的图象：
结合图象可以得到在上两图象有5个交点，
故选D.
6．【答案】B
【详解】根据题意，函数在上单调递增，则在上单调递增，
令，则在上单调递减，所以且，
故选B.
7．【答案】A
【详解】由球的体积为，可得球半径为，
设圆锥高为，则底面圆半径为，所以圆锥体积，
方法一：设，则，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
所以.
方法二：由，
当且仅当时取等号，即时，最大为.
故选A.
8．【答案】D
【详解】如图所示，作出函数的图象，
易知，
先求与相切时的值，
设切点为，则切线方程为，
将代入，化简得，易知函数单调递增，，所以，
所以当时，与有两个交点；
当时，与有一个交点，
当时，与没有交点.
易知两函数图象均关于对称，可联立
得，，则，
此时切点横坐标为，
当过点时，，
所以当时，与有两个交点；
当时，与没有交点；
当时，与有三个交点.
综上，若与有四个交点，
则，
故选D.
9．【答案】BD
【详解】由题意可知，该市高三年级学生的数学成绩的均值为110，方差是25，故A错误；
，
由正态分布的性质可知B正确；
，故C错误；
学生成绩低于110的概率为，每一名学生的成绩相互独立，
所以3名学生的数学成绩，至少有1个成绩低于110的概率为，故D正确.
故选BD.
10．【答案】ACD
【详解】A，若等比数列的公比，则为摆动数列，显然不单调递增，
若等比数列是递增数列，一定有，A正确；
B，因为函数的对称轴为，所以，
整理得：，则，B错误；
C，首先且在区间上单调递减，
且在区间上单调递减，在上单调递增，对称轴为，
分析可知最小值在上，此时分子且单调递减，分母单调递增，
此时函数为单调递减函数，所以当时取得最小值为正确；
D，因，
则，D正确.
故选ACD.
11．【答案】AC
【详解】由题意可知，由椭圆的对称性，与关于原点对称，与关于原点对称，
所以四边形是平行四边形，且对角线互相垂直，
所以四边形是菱形，那么对角线就是角平分线，
所以对角线交点即为到四条边的距离相等，所以四边形一定有内切圆，A正确；
四边形是菱形，它不一定有外接圆，比如轴时，B错误；
在椭圆中，设，
则，即，
代入椭圆的方程得，
整理得，
两式相加可得，由上式，所以，
那么菱形的面积，当且仅当时等号成立，C正确；
由上述可知，
原点到两条边的距离即为内切圆半径，
又（为菱形的周长），，
所以菱形的周长，D错误.
故选AC.
12．【答案】
【详解】因为焦点为，所以，
，，
所以双曲线，
故渐近线方程为.
13．【答案】6
【详解】由题设，故时切线的斜率为，
因为与直线垂直，所以.
14．【答案】
【详解】

设第一次游戏继续的事件为，如图，三棱锥中，
因为平面，易得在平面内，
所以平面平面，平面平面，
因为平面，在平面内，
所以，又，为平面内两条相交直线，
所以平面又因为平面，
所以平面平面，
则；
第二次游戏继续的事件为，
如图，三棱锥有6条棱，
不共面的两条棱为与与与，共三组，
则，
所以游戏在第三次结束的概率为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得：，
由正弦定理可得：，
又，
则，
又，，
，，
；
（2）由（1）得，则是以为顶角的等腰三角形，
设，则，
在中，由余弦定理可得：，
解得，
即，
由正弦定理可得，
即，
.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
连接，
由直角梯形满足，，，，
可得，，
所以可得，
取的中点，连接，
计算可得，，所以，
所以，
所以，以为轴，为轴，为轴建立坐标系，
令，
，，，，
所以，
，，
令平面的法向量为，
则，即，
令，则，
，
计算得或，
即或，
又，
所以；
（2）因为侧棱底面，平面，
所以，
又因为，，，平面，
可得平面，
又平面，
可得，
又因为，点是棱的中点，
所以，
又，平面，
所以平面，
所以为平面的法向量，
由于，，，，平面，
所以平面，
所以平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成角的大小为.
17．【答案】(1)；
(2)32；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由焦点为，即，所以抛物线的标准方程；
（2）当直线的斜率为0时，不符合题意，
当直线的斜率不为0时，设直线，
联立，可得，恒成立，
设，，
所以，同理，
则四边形的面积为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以四边形面积的最小值为32；
（3）设，
由（2）知，同理，
直线的方程为，化简得直线的方程为①，
同理直线的方程为②，
联立①②得，
，
，
，
，
，故直线与直线的交点在定直线上.
18．【答案】(1)2
(2)①；②，证明见解析
【详解】（1）由题意得，，
令
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以，
（2）①：的三个根分别为，
则
当时，，所以是方程的一个根
当时，由，得
设，
则
设，则恒成立，
所以在上单调递增，
因为，所以单调递减；
单调递增，
因为，
方法一：因为
下证明：构造，求导可得，
易得，，时，，
所以在单调递增，在单调递减，
，
所以，
所以，即，
当时，，
对，使得，
当时，，
对，使得，
所以的取值范围是
方法二：易得，当时，，
当时，，
故的取值范围是
②：由①可知，，其中.
，
，即，
，
设，
则恒成立，
，所以当时，，
19．【答案】(1)
(2)，，
(3)是，理由见解析
【详解】（1）将数列列举可得，依次为，，，，，；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.不难发现，所以；
（2）由，所以，，
设，
则当第一次出现在中时，其后一项一定出现一个，因为，，，，已经出现在数列中，所以此前出现的次数为，故下一项为，
所以，，
；
（3）是
①首先证明某些整数会出现无限次，
（反证法）假设没有整数会在中出现无限次，那么数列中会包含任意大的整数，
每个大于的整数第一次出现时，设，则，
所以会出现无限次，与假设矛盾，故某些整数会出现无限次；
②现在证明每个整数最多出现次，（且）即至少出现次的整数，
（反证法）假设有无数多个数在中出现无限次，设第一次出现次的数，则在这之前，每次出现都是跟在一个出现过次的整数之后，因此，在第次出现之前，一定已经有至少个数至少出现次，这与假设矛盾，故每个整数最多出现次
综上所述，只有有限个数会在数列中出现无限次.