重庆市第八中学校2025届九年级下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第八中学校2025届九年级下学期开学考试数学试卷(含答案)，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．﹣6的相反数是（ ）
A．﹣6B．﹣C．6D．
2．下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．三个角分别相等的两个三角形是全等三角形
B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．对顶角相等
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
6．的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
7．一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是元，那么所列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知图形是由直径为a的两个半圆叠拼而成，．请用含a的代数式表示图中阴影部分的面积（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在正方形中，P为上一点（点P不与点B，C重合），于G，并交于点H，过C作交AH延长线于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知整式，其中n，，，，…，均为自然数，且，下列说法：
①当，时，则；
②若，则存在一个n使得满足条件的整式有6个；
③若时，则满足条件的所有整式有且仅有85个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．计算： ．
12．若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为 ．
13．不透明的袋子中装有除颜色不同外其它完全相同的个红球，个黑球，个白球，从袋子中随机摸出个球，摸出的两个球颜色不同的概率为 ．
14．已知关于x的不等式组至少有三个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数m的值之和为 ．
15．如果一个四位数自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的一半，则称这个四位数为“春暖花开数”．例如：四位数2153，，2153是“春暖花开数”；又如四位数3287，，3287不是“春暖花开数”．若是一个“春暖花开数”，记，当s为完全平方数时，则 ；此时，记，若为整数，则满足条件的所有M的和为 ．
三、解答题
16．如图，是的直径，弦垂直平分交于点E，F为上一点，连接，，过C点作交于点G，若，，则的长度为 ；连接，，，则四边形的面积为 ．
17．化简：（1）
（2）
18．如图，在四边中，，是对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：∵垂直平分
∴①______，
∵
∴②______
∵在和中
∴，∵
∴四边形BFDE为平行四边形
∵④______
∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形）
在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______．
19．家是最小国，国是千万家，维护国家安全，人人有责，人人可为．年月日是第九个全民国家安全教育日，某校开展了“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（分制）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成四组：不合格，合格，良好，优秀）．下面给出了部分信息：
七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：，，，，，，
八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：，，，，，，，
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表
七年级抽取学生的竞赛成绩条形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出，，的值；
(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“国安知识”掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校七年级有人，八年级有人参加此次竞赛活动，估计两个年级参加此次竞赛活动成绩在分及以上的学生人数共有多少人？
20．某班级为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同．
(1)求购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？
(2)若该班级计划购买甲、乙两种奖品共60件，且购买的总费用不超过1440元，则甲种奖品最多能购买多少件？
21．如图1，在矩形中，，，对角线交于点O．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度沿运动，点E是线段上一动点，满足，设点P、Q运动的时间都为x（），点P到的距离与点P到的距离的和为，点E到的距离为．
(1)请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过）
22．2025年重庆“新年第一跑”活动在渝北区中央公园中央广场举办，活动方开辟出了两条经典路线．如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点C在起点A的东北方向．路线①从起点A出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点B，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点C；路线②从起点A出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点D，再沿正北方向的步道跑1800米即可到达终点C．（参考数据：，，）
(1)求的长度；（结果精确到1米）
(2)某班有两位同学小轩和小鹏参加了跑步活动，小轩选择路线①，他的平均速度为80米/分钟，小鹏选择了路线②，他的平均速度为90米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达终点？（结果精确到0.1）
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点M．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点F是线段上一动点（点F不与端点A，D重合），过点F作，交抛物线于点E（点E在对称轴左侧），过点E作轴，垂足为H，交于点G，点N是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点P为平移后的抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的P的坐标，并写出其中一个点的求解过程．
24．如图，在三角形中，，，为上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，若点在边上，延长交于点，，，求的长；
(2)如图2，若点在延长线上，延长交于点，交于点，求证：；
(3)若点在边上，为边上一点，，为上方一点，，，连接，为上一点，，当取得最大值时，将线段绕点旋转得到线段，连接，线段绕点逆时针方向旋转得到线段，直接写出的最大值．
年级
平均数
众数
中位数
满分率
七年级
八年级
《重庆市第八中学校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题》参考答案
1．C
解：的相反数是6，
故选：C．
2．A
解：A.圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；
B.圆柱的主视图是长方形，故此选项不符合题意；
C.球体的主视图是圆形，故此选项不符合题意；
D.三棱柱的主视图是长方形，中间有一条实线，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．C
解：，故A不符合要求；
，故B不符合要求；
，故C符合要求；
不是乘积形式，故D不符合要求；
故选：C．
4．D
解：与是以点O为位似中心的位似图形，
，．
．
．
与的面积比为，
与的相似比为，即．
．
故选：D
5．C
解：A、三个角分别相等的两个三角形不一定是全等三角形，故A选项不符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故B选项不符合题意；
C、对顶角相等，故C选项符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D选项不符合题意；
故选：C．
6．D
解：
∵
∴
∴的值应在7和8之间，
故选：D．
7．D
解：设这种自行车每辆的进价是元，由题意可得，
故选：D．
8．A
解：阴影部分的面积
，
故选：A．
9．C
解：如图，过点作交于点，过点作交延长线于点，
正方形，
，，
，
，
，
，即，
，
，
，
又，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，；
，
，
，，
，，
，，
是等腰直角三角形，，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：C．
10．B
解：①当，时，
，，…，为自然数，且，
，，，，，
，
故①错误．
②若，
当时，
，
有个；
当时，
，
可以取、、、，有个；
当时，
，
为，，，，，，
有个；
当时，
，
为，， ，
有个；
当时，
，
为，
有个；
存在一个（），使得满足条件的整式有且仅有6个；
故②正确．
③当时，
当时，
整式：，
有1个；
当时，
时，
整式：；
时，
整式：，
此时共有：个；
当时，
时，
整式：，
有个；
时，
整式为，可以取、，有个；
时，
整式为，
为，
有个；
此时共有：个；
当时，
时，
整式：，
有个；
时，
整式为，可以取、、，有个；
时，
整式为，
为，，，
有个；
时，
整式为，
为，
有个；
此时共有：个；
当时，由②得此时共有：个；
若，
当时，
，
有个；
当时，
，
可以取、、、，4，有5个；
当时，
，
为，，，，，，，，，，
有10个；
当时，
，
为，，，，， ，
有6个；
当时，
，
为，，，，，
∴有4个，
当时，
，
为，
∴有1个，
此时共有：个；
综上所述：共有个，
故③错误．
因此正确的结论是②，共1个．
故选：B．
11．0
解：，
故答案为：0 ．
12．/度
解：由题意得，其余四个内角之和为，
故答案为：．
13．
解：画树状图为：
共有种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色不同的结果数为，
所以摸出的两个球颜色不同的概率，
故答案为：．
14．10
解：解关于的一元一次不等式组，得，
根据题意得，，
，
解关于y的分式方程，得，
分式方程的解为整数，
的解为整数为或或或，
的值为7或或或或3或2或0，
满足条件的整数的值为3，7，
所有满足条件的整数的值之和是，
故答案为：10．
15． 6 18275
解：∵是一个“春暖花开数”，
∴，
∵，
∴，
∵s为完全平方数，且，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴
，
∵，且、互不相等，
∴，
∵为整数，
∴，或，，
当，时，解得：，，此时，，，，；
当，时，解得：，，此时，，，；
综上所述，或8593，
∴它们的和为；
故答案为6；18275．
16．
解：连接，
∵，弦垂直平分交于点E，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
设，
∴，，，
在中，，
在中，，，
过点作I于，
∵，
设，则，，
在中，，即，
解得： 或（舍），
∴，
，
，
∴，
故答案为：；．
17．（1）；（2）．
解：（1）原式=
=
=；
（2）原式=
=
=．
18．(1)见解析
(2)，，，，得到的四边形是菱形
（1）解：如图，为所求作的线段的垂直平分线；
（2）证明：∵垂直平分
∴①，
∵
∴②
∵在和中，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形
∵④
∴四边形为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形）
在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤得到的四边形是菱形．
19．(1)，，；
(2)八年级学生对“国安知识”掌握更好，理由见解析；
(3)估计两个年级此次竞赛成绩在分及以上的同学有人
（1）解：七年级中位数为良好的第和个的平均数：，
八年级的满分的人数（人），八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组人数为人，
∴八年级的众数为，
由，则，
∴，，；
（2）解：八年级学生对“国安知识”掌握更好，
理由：八年级学生“国安知识”竞赛成绩中位数大于七年级学生“国安知识”竞赛成绩中位数，八年级的满分率大于七年级的满分率，
∴八年级学生对“国安知识”掌握更好；
（3）解：，
答：估计两个年级此次竞赛成绩在分及以上的同学有人．
20．(1)购买1件甲种奖品需35元，1件乙种奖品需20元
(2)甲种奖品最多能购买16件
（1）解：假设购买一件乙种奖品需元，则由题意得：
，
解得：．
经检验：是原方程的解且符合题意；
∴ ，
即一件甲种奖品需元，一件乙种奖品需元．
答：购买件甲种奖品需元，件乙种奖品需元．
（2）解：设甲种奖品最多能购买件，
由题意得： ，
解得：．
答：甲种奖品最多能购买件．
21．(1),
(2)见解析
(3)或
（1）解：在矩形中，，，
∴，
∴，
当时，如图，作，，垂足分别为点F和点G，
则，
∴，，
即，，
∴，，
∴当时，，
当时，如图，作，，垂足分别为点M和点N，
则，
∴，，
即，，
∴，，
∴当时，，
∴；
∵．点E到的距离为．
∴，
∴；
（2）解：函数图象如图所示：
在时，函数随着x的增大而增大；时，函数随着x的增大而减小
（3）解：根据图象估计当时，即函数图象在函数图象下方，
此时x的取值范围是或．
22．(1)的长度约为3477米
(2)小鹏会先到达终点
（1）如图，过点D作于点E，
由题意，得，，米
在中，（米）．
在中，（米）
（米）．
答：的长度约为3477米；
（2）如图，过点A作交的延长线于点F，
由题意，知，
由（1）知米，
在中，米
在中，米，
米
（米）
在中，（米），
小轩走路线①需要的时间为：（分钟）．
小鹏走路线②需要的时间为：（分钟）．
，小鹏会先到达终点．
23．(1)
(2)
(3)，
（1）解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
设，则：，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∵，
∴当时，最大，此时最大，
∴，，
∴，
连接，
∵，，
∴，同法可得直线的解析式为：，
∴，
∴，
过点作，连接，则：，
∴，
∴当三点共线，且时，的值最小为的长，
设与轴交于点，连接，
∵，当时，，
∴，
∴轴，，
∴，
∴，
∴的最小值为：；
（3）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）知：，则直线的解析式为，
∴为二，四象限的角平分线，
∴抛物线沿方向平移个单位，相当于先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，
∴，
连接，过点作轴于点，则四边形为正方形，
∴，
①在上方取点，过点作，则：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点在射线上，
∴点为射线与抛物线的交点，
同（2）法可得直线的解析式为：，
联立，解得：或（舍去）；
∴；
②在下方取点，过点作，
同法可得：，
点为射线与抛物线的交点，同法可得，直线的解析式为：，
联立，解得：或（舍去）；
∴；
综上：或．
24．(1)
(2)证明见解析
(3)
（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
则，，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：过点作交延长线于点，在上取点，连接，使，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即 ；
（3）解：∵，，，
∴是固定大小的等腰三角形，
∴可以固定，进行变动，
∵，，
∴构造的外接圆，连接，，如图，
∴，，
∴是等边三角形，且，
∴是固定圆，
∴点的轨迹为点为圆心，半径为的圆，
利用两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最大，此时如图，最大值为，
设交于点，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵将线段绕点旋转得到线段，
∴点的轨迹为以点为圆心，长为半径的，
∵线段绕点逆时针方向旋转得到线段，
∴点的轨迹为绕点逆时针方向旋转得到的，如图，
∴，
∴，
∵，
∴点为定点，
由圆外一点到圆上一点的最大距离，可得当，，依次共线时最大，此时如图，
∵，,
∴,
∴最大值．