海南省文昌市文昌中学2024-2025学年高三下学期第五次月考（4月）数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．复数 （ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3． 的展开式中 的系数为（ ）
A．48 B．100 C．433 D．432
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A．-2 B．1 C．2 D．-4
6．米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外
形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文
化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别
为 和 ，侧棱长为 . 则其外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
7．文昌中学举行志愿者爱心活动，某社区设三个服务站，高三年级 5 名同学到 A、B、
C 三个服务点做志愿者，每名同学只去 1 个服务点，每个服务点至少 1 人，其中同学
甲不去 A 号服务点，则不同的安排方法共有（ ）
A．68 种 B．98 种 C．100 种 D．120 种
8．若定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， 恒成立，
则函数 的零点的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
高三数学 第 1页 （共 4 页）
9．下列命题中，正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ， 则
C．若 ，则 D． 则
10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ， ，则下列判
断中正确的是（ ）
A．若 ，则该三角形有一解 B．若 ，则该三角形有一解
C．△ABC 周长有最大值 12 D．△ABC 面积有最大值
11．如图，棱长为4 的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方形
内的一个动点（包括边界），且 ∥平面 ，则下列说法正确的有（ ）
A．点 F 的轨迹长度为
B． 的最小值为
C．三棱锥 体积的最小值为
D．当 与 垂直时，直线 与平面
所成的角为
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．曲线 y＝xln x 在点（e，e）处的切线与直线 垂直，则实数 的值为 ．
13．设 为双曲线 的左、右焦点，过 且倾斜角为 的直
线与 在第一象限的部分交于点 ，若△ 为等腰三角形，则 的离心率为 .
14．在△ABC 中， 为 上一点，且 ，P 为
BE 上一点，且满足 ，
则 最小值为 .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分 13 分）
已知数列 为等比数列，且 ，
高三数学 第 2页 （共 4 页）
（1）求数列 的通项公式 与前 项和公式 ；
（2）若 , 数列 的前 项和为 ，求使得 成立时 的取值
集合.
16.（本小题满分 15 分）
某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的 240 位居民的得分（满
分 100 分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.
（1）若此次知识问答的得分X 服从 ，其中
近似为参与本次活动的 240 位居民的平均得分
（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），
求 的值；
参考数据： ，
， .
（2）本次活动，制定了如下奖励方案：以上面频率分布直方图中的频率作为概率，
参与本次活动得分低于 80 分的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低
于 80 分的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有 的机会抽中一张 10 元的
话费充值卡，有 的机会抽中一张20元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，
假设该小区居民王先生参与本次活动，求：王先生获得的话费充值卡的总金额
Y 的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额.
17.（本小题满分 15 分）
已知椭圆 C 上的动点 总满足关系式
且椭圆 C 与抛物线 ： 有共同的焦点 F，P 是椭圆 C 与抛物线 的
一个公共点，
（1）求抛物线 的标准方程和椭圆 C 的标准方程；
（2）过点 F 的直线 l 交抛物线 于 M, N 两点，交椭圆 C 于 A, B 两点，若
，求直线 l 的方程.
18.（本小题满分 17 分）
如图1，在半径为2 的扇形OPQ 中， ，C 是弧PQ 上的动点（不含P，Q），
过点 C 作 CD∥OQ，交 OP 于点 D.
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（1）当 时，求此时 OD 的长；
（2）当△OCD 的面积取得最大值时，将扇形 OCQ 沿着 OC 折起到 OCE，使得平面
OCE⊥平面 OPC（如图 2 所示）.求此时直线 CD 与平面 OPE 所成角的正弦值；
（3）在第（2）问的条件下，探究在图 2 中的线段 上是否存在点 ，使得四面体
内切球的半径为 ？并说明理由.
19.（本小题满分 17 分）
已知函数 的定义域为 ，若 在 上单调递增，则称 为“强
增函数”。
（1）若 为“强增函数”，求 的取值范围；
（2）若 为“强增函数”，且 . 当 时，比较 与 的
大小，并说明理由；
（3）已知
证明： （参考结论：当 x→0 时，x2lnx→0）
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