重庆市缙云教育联盟2022届高三第一次诊断性检测（1月）数学含答案

★秘密·2022年1月19日17：00前

重庆市2022年高考第一次诊断性检测

高三数学

【命题单位：重庆缙云教育联盟】

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；

4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知是三个不同的平面，且，，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．若集合，则（）

A． B． C． D．

3．魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则的值为（）

A． B． C．8 D．﹣8

4．已知，，，则，，的大小关系是（）

A． B．

C． D．

5．过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．在数列中，（），，则（）

A．1 B．3 C．6 D．9．

7．将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（）

A．33 B．56 C．64 D．78

8．音乐是有不同频率的声音组成的，若音1（do）的频率为f，则简谱中七个音1（do）、2（er）、3（mi）、4（fa）、5（so）、6（la）、7（si）组成的音阶频率分别是f、、、、、、．其中相邻两个音的频率比是一个到另一个音的台阶，上述“七声音阶”只有两个不同的值，记为α、β（α＞β），α称为全阶，β称为半音，则下列关系式成立的是（　　）（参考数据：lg2≈0.3010、lg3≈0.4771）

A．α＝2β B．α＝β2

C．|lgα﹣lgβ|＜0.01 D．|lgα﹣2lgβ|＜0.01

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9．设，，分别为锐角三个内角，，的对边，且，则下列结论正确的是（）

A． B．

C．的取值范围是 D．的取值范围是

10．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:其中所有正确结论的序号是（）

A．在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；

B．当时，直线与白色部分有公共点；

C．黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为；

D．若点，为圆过点的直径，线段是圆所有过点的弦中最短的弦，则的值为.

11．平面向量，满足，且，，则下列说法正确的是（）

A． B．在方向上的投影是1

C．的最大值是 D．若向量满足，则的最小值是

12．已知，且，则下列结论正确的是（）

A．的最大值为 B．的最大值为

C．的最小值为 D．的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设圆，若等边的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值为______.

14．若的二项展开式中的常数项为，则实数a=___________.

15．有5条同样的生产线，生产的零件尺寸（单位：）都服从正态分布，且，在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间的概率为___________.

16．已知函数，，若，，使得，则______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图所示，边长为2（百米）的正方形区域是某绿地公园的一个局部，环线是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与平行，端点是该抛物线的顶点且为的中点，端点在上，且长为（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.

（1）求弯道段所确定的函数的表达式；

（2）绿地管理部门欲在弯道段上选取一点安装监控设备，使得点处监测段的张角最大，求点的坐标.

18．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

19．如图，在三棱锥中，平面，，，，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

20．为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW·h），并将得到数据按如下方式分为9组：[0，40），[40，80），…，[320，360]，绘制得到如下的频率分布直方图：

（1）试估计抽查样本中用电量在[160，200）的用户数量；

（2）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0，40）和[320，360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率．

21．设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．

（1）求双曲线的方程；

（2）过点的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．

22．已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求，的值；

（2）若，是两个正数，且，证明：.