辽宁省丹东市2023-2024学年高三上学期期末教学质量监测 数学试卷（含答案）

这是一份辽宁省丹东市2023-2024学年高三上学期期末教学质量监测 数学试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了 已知圆过，，三点，则， 已知锐角，满足，且，则， 已知函数定义域为，且，，则， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
高三数学
命题：杨晓东 郭欣 赫希武 颜红 葛冰
审核：杨晓东
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 复数，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥底面的半径为（ ）
A 1B. C. D. 2
4. 已知对数函数满足，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
5. 有6个座位连成一排，安排3个人就坐，恰有两个空位相邻的坐法为（ ）
A. 48种B. 72种C. 96种D. 108种
6. 已知圆过，，三点，则（ ）
A. B. C. 5D.
7. 已知锐角，满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数定义域为，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 有一个零点
B. 的极小值为
C. 的对称中心为
D. 直线是曲线的切线
10. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. 的最小正周期为B.
C. 在上递增D. 关于直线对称
11. 已知直三棱柱体积为，，，，O为的中点，则（ ）
A. B. 点A到平面的距离为
C. 直三棱柱的外接球的半径为D. 直线与所成角的余弦值为
12. 已知为坐标原点，过抛物线：的焦点的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，直线与C交于N，若直线与的倾斜角互补，则（ ）
A. 直线的斜率为B.
C. 线段中点的纵坐标为D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13 若随机变量，且，则__________.
14. 设单位向量，的夹角为60°，则___________.
15. 已知等比数列的前3项和为168，，则___________.
16. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，点A在上，点B在y轴上，，，则C的离心率为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 记为数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，D是边上的点，且.
（1）求；
（2）若，求.
19. 如图，在三棱锥中，，，，，点M，N分别为，的重心.
（1）求证：面；
（2）若平面与平面所成的角为45°，且平面平面，求三棱锥的体积.
20. 中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，某地区举行中国象棋比赛，先进行小组赛，每三人一组，采用单循环赛（任意两人之间只赛一场），每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各1分.根据积分排名晋级淘汰赛，若出现积分相同的情况，则再进行同分加赛，直到排出小组1，2，3名为止，已知甲、乙、丙三人分在同一个小组，根据以往比赛数据统计，甲、乙对局时，甲胜概率为，平局概率为；甲、丙对局时，甲胜概率为，平局概率为；乙、丙对局时，乙胜概率为，平局概率为，各场比赛相互独立.
（1）甲乙丙单循环赛分出胜负的局数为，求；
（2）甲乙丙单循环赛结束，乙丙同积4分，设加赛次后乙获得小组第一名的概率为，证明：.
21. 已知双曲线的渐近线方程为，点在上.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于、两点，直线、与轴的交点分别为、，求证：线段的中点为定点.
22. 已知定义在上的函数和.
（1）求证：；
（2）设在存在极值点，求实数取值范围.
按秘密级事项管理
丹东市2023~2024学年度上学期期末教学质量监测
高三数学
命题：杨晓东 郭欣 赫希武 颜红 葛冰
审核：杨晓东
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用列举法表示集合B，再利用并集、补集的定义求解即得.
【详解】依题意，，而，则,
所以.
故选：D
2. 复数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由共轭复数的概念以及复数的四则运算即可求解.
【详解】由题意有.
故选：A.
3. 已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥底面的半径为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设圆锥的底面圆半径为，母线为，根据圆的面积公式求出l，进而求出扇形的弧长，结合圆的周长公式计算即可求解.
【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线为，
则，解得，所以侧面展开图扇形的弧长为，
有，解得，即圆锥的底面圆半径为1.
故选：A
4. 已知对数函数满足，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意和对数函数的定义可得，将原不等式转化为，得或，结合对数函数的单调性解不等式即可求解.
【详解】由题意知，设对数函数的解析式为且，
由，得，解得，
所以对数函数解析式为.
所以，
得或，
当时，得，
当时，得.
故原不等式的解集为.
故选：B
5. 有6个座位连成一排，安排3个人就坐，恰有两个空位相邻的坐法为（ ）
A. 48种B. 72种C. 96种D. 108种
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分2步进行分析：将三人连同座位全排列，再将三个空座位分成两组，2个相邻的，1个单独放置的，安排到三人形成的空位中，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，有6个座位连成一排，安排3个人就座，有3个空座位，把这三个空座位分成两组，2个相邻的，1个单独放置的．
将三人连同座位全排列，共有种情况，
再把两组不同的空座位插入到三个人产生的四个空位里，有种，
所以不同坐法有种．
故选：B
6. 已知圆过，，三点，则（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意，利用待定系数法求出圆的标准方程，找到半径即可.
【详解】设圆的标准方程为，
因为圆过，，三点，
所以，解得，
所以，故，
故选: C.
7. 已知锐角，满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角恒等变换公式化简计算即可.
【详解】由，
即，
.
故选:A.
8. 已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用赋值法即可逐一求解.
【详解】令可得，则，故A错误
令，则，所以，故B错误，
令，则，所以，
令，则，
则，，，D错误，
令，则，则，
令，则，则，
故C正确，
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 有一个零点
B. 的极小值为
C. 的对称中心为
D. 直线是曲线的切线
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用导数讨论函数的单调性，即可判断B，结合即可判断A；证明函数为奇函数，结合函数平移变换即可判断C；根据导数的几何意义求出曲线的切线方程即可判断D.
【详解】A：，
令，令或，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以当时，，故函数在R上只有一个零点，故A正确；
B：由选项A的分析可知，函数的极小值为，故B错误；
C：令，定义域为R，则，
所以函数为奇函数，对称中心为，将函数图象向下平移1个长度单位，
得函数的图象，所以的对称中心为，故C正确；
D：由选项A知，令，又，
所以切线方程为，即，
所以直线是曲线在点处的切线，故D正确.
故选：ACD
10. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. 的最小正周期为B.
C. 在上递增D. 关于直线对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三角函数图象的伸缩平移变换可得，结合公式计算即可判断A；计算直接判断B；利用整体代换法求出函数的增区间，即可判断C；利用验证法即可判断D.
【详解】A：将函数的图象上点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，可得
，再向左平移个单位长度，得，
所以函数的最小正周期为，故A错误；
B：由选项A知，则，故B正确；
C：由，，得，
令，则函数的单调递增区间为，又，
所以函数在上单调递增，故C正确；
D：易知，又，
所以直线是函数的一条对称轴，故D正确.
故选：BCD
11. 已知直三棱柱的体积为，，，，O为的中点，则（ ）
A. B. 点A到平面的距离为
C. 直三棱柱的外接球的半径为D. 直线与所成角的余弦值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据棱柱的体积公式计算即可求解判断A；由线面垂直的判定定理和性质可得，利用等体积法求出点面距即可判断B；利用勾股定理求出球的直径即可判断C；如图，确定线线角，利用余弦定理计算即可判断D.
【详解】设，由，得，
所以，解得，即，故A正确；
B：因为面，所以面，
由面，得.
设点A到平面的距离为，由等体积法可得，
，即，
又，，所以，
即点A到平面的距离为，故B错误；
C：由题意，易知为直三棱柱的外接球的球心，设半径为R，
则，所以，故C正确；
D：如图，取的中点D，连接OD、AD，则且，
所以（或其补角）为直线AO与直线BC所成角，
在中，，由余弦定理，
得，故D错误.
故选：AC
12. 已知为坐标原点，过抛物线：的焦点的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，直线与C交于N，若直线与的倾斜角互补，则（ ）
A. 直线的斜率为B.
C. 线段中点的纵坐标为D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，首先由直线与的倾斜角互补，即垂直平分，得，结合即可判断A；对于B，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理以及焦半径公式即可判断B；对于C，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理以及中点坐标公式即可判断C，并得到点，由此即可判断D.
【详解】
由题意若直线与的倾斜角互补，其中，由题意设中点为，
则垂直平分，所以，又A第一象限，
所以，所以，即，
所以直线（）的斜率为，故A正确；
由A选项分析可知，直线（）的斜率为，
所以直线（、）的方程为，将其代入抛物线方程得，
，由，得，
所以，所以，故B错误，
由A选项分析，又直线与的倾斜角互补，，
所以由直线的斜率为，
所以直线的方程为，将其代入抛物线方程得，
，由，得线段中点的纵坐标为，故C正确；
由，，得，，
所以，又，
所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：关键是由题意得到点，然后结合韦达定理以及抛物线定义等即可顺利得解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若随机变量，且，则__________.
【答案】0.8##
【解析】
【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.
【详解】因为随机变量，则正态分布曲线的对称轴为，
所以，
所以.
故答案为：0.8
14. 设单位向量，的夹角为60°，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算律即可求解.
【详解】,
故答案为：2
15. 已知等比数列的前3项和为168，，则___________.
【答案】##
【解析】
【分析】由题意设等比数列首先公比分别为，由题意列方程求出，由此即可得解.
【详解】由题意设等比数列首先公比分别为（否则与矛盾），
所以，，
两式相比得，解得，
所以.
故答案为：.
16. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，点A在上，点B在y轴上，，，则C的离心率为_________.
【答案】
【解析】
【分析】设，利用椭圆定义及对称性表示出，结合勾股定理可得，再利用余弦定理求解即得.
【详解】
令椭圆C的半焦距为c，设，则，
由点B在y轴上，，得，
而，，
因此，即，解得，
在中，，
在中，由余弦定理得，
即，整理得，，
所以C的离心率为.
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 记为数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用之间得关系，再结合累乘法计算化简即可.
（2）表示出数列的前项和，利用错位相减法计算化简即可.
【小问1详解】
结合题意：因为，
当时，，
所以①②得，即，
所以，
当时，上式也成立.
故的通项公式.
【小问2详解】
记，由（1）问
所以，
即，
所以，
所以③④得
即，整理得：.
18. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，D是边上的点，且.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理边角化即可求解，
（2）根据余弦定理化简求解.
【小问1详解】
由可得,
由于，所以，
因此
【小问2详解】
由可得，
由余弦定理可得,即，
化简可得，又，，
代入可得，化简得，进而，解得
19. 如图，在三棱锥中，，，，，点M，N分别为，的重心.
（1）求证：面；
（2）若平面与平面所成的角为45°，且平面平面，求三棱锥的体积.
【答案】19. 证明见解析
20.
【解析】
【分析】（1）取AB的中点D，连接PD，CD，如图，由三角形的重心可得，则，结合线面平行的判定定理即可证明；
（2）取BC的中点O，取AC的中点E，连接OP，OE，根据面面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，设，利用向量的线性运算可得，根据空间向量法求面面角，建立a的方程，求出a，结合三棱锥的体积公式计算即可求解.
【小问1详解】
因为点M，N分别是的重心，取AB的中点D，连接PD，CD，如图，
则，在中，，所以，
故，又面，面，所以面；
【小问2详解】
由题意知，，，
取BC中点O，取AC的中点E，连接OP，OE，则，
由面面，面面，面，
得面，又面，所以，
建立如图空间直角坐标系，设，
则，
由，
得，所以，
易知为面的一个法向量，设面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
故，
由，解得.
所以，
即三棱锥的体积为.
20. 中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，某地区举行中国象棋比赛，先进行小组赛，每三人一组，采用单循环赛（任意两人之间只赛一场），每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各1分.根据积分排名晋级淘汰赛，若出现积分相同的情况，则再进行同分加赛，直到排出小组1，2，3名为止，已知甲、乙、丙三人分在同一个小组，根据以往比赛数据统计，甲、乙对局时，甲胜概率为，平局概率为；甲、丙对局时，甲胜概率为，平局概率为；乙、丙对局时，乙胜概率为，平局概率为，各场比赛相互独立.
（1）甲乙丙单循环赛分出胜负的局数为，求；
（2）甲乙丙单循环赛结束，乙丙同积4分，设加赛次后乙获得小组第一名的概率为，证明：.
【答案】20. 2.3 21. 证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可知X可能取值为0,1,2,3，利用独立事件的乘法公式分别求出对应的概率，结合数学期望的计算公式求解即可；
（2）根据题意依次分析乙丙加赛1场、2场、n场后乙胜的情况，表示出对应的概率，结合等比数列的概念和等比数列前n项求和公式计算，即可证明.
【小问1详解】
单循环赛共赛3场，故X可能取值为0,1,2,3，
则，
，
所以；
【小问2详解】
当乙丙同积4分式，说明乙丙各胜1场，各平局1场，而甲负2场得0分.
若乙丙加赛1场后乙胜，此时乙获得小组第一的概率为；
若乙丙加赛2场后乙胜，说明加赛的第1场平局，第2场乙胜，此时；
若乙丙加赛3场后乙胜，说明加赛的前2场平局，第3场乙胜，此时；
若乙丙加赛4场后乙胜，说明加赛的前3场平局，第4场乙胜，此时；
若乙丙加赛n场后乙胜，说明加赛的前场平局，第n场乙胜，此时.
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故，即证.
21. 已知双曲线的渐近线方程为，点在上.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于、两点，直线、与轴的交点分别为、，求证：线段的中点为定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据点在双曲线上可得出的值，结合双曲线的渐近线方程可得出的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）分析可知，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，写出直线、的方程，进而可求得点、的坐标，即可求得线段中点的坐标.
【小问1详解】
解：因为点在双曲线上，则，又因为，则，
又因为双曲线的渐近线方程为，则，
因此，双曲线的方程为.
【小问2详解】
证明：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
此时，直线与双曲线相切，不合乎题意；
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
设点、，
联立可得，
由题意可知，，解得，
由韦达定理可得，，
直线的方程为，
在直线的方程中，令，得，即点，
同理可得点，
因为
，
所以，线段的中点坐标为，即线段的中点为定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
22. 已知定义在上的函数和.
（1）求证：；
（2）设在存在极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）构造函数，利用导数求单调性，即可求证，
（2）将问题转化为有正的实数根，利用换元法将问题进一步等价于有正的实数根，构造函数，即可求导分类讨论求解.
【小问1详解】
记（），所以，
因此在上单调递减，故，
故，
【小问2详解】
,
则，
由于在存在极值点，
所以有正的实数根，
即方程有正的实数根，
令，则，且，
故变形为，
进而等价于有正的实数根，
令，，
则，
令，则，
当时，则，
所以在单调递增，
故，进而，
此时在单调递增，故，此时不符合要求，
当时，则，所以在单调递减，
故，进而，此时在单调递减，故，此时不符合要求，
当时，则在单调递增，由于，
当时，，故存在，使得，
故当单调递减，当单调递增，
又当时，，
因此存在，使得单调递减，
当单调递增，故当是的零点，
综上可得
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.