浙江省嘉兴市2025届高三（下）4月月考数学试卷（含解析）

这是一份浙江省嘉兴市2025届高三（下）4月月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数1−2i1+i的虚部是( )
A. 12B. −12C. −32D. −32i
2.关于x的不等式elg2x>1的解集为( )
A. (0,12)B. (0,1)C. (12,+∞)D. (1,+∞)
3.在△OAB所在平面内，点C满足AB=3BC，记OA=a，OB=b，则OC=( )
A. 13a+23bB. 23a+13bC. −13a+43bD. 43a−13b
4.“m≥0”是“圆C：x2+y2−4x−6y+m=0不经过第三象限”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.若某正四面体的内切球的表面积为4π，则该正四面体的外接球的体积为( )
A. 9πB. 27πC. 36πD. 64π
6.已知抛物线C：y2=4x，其准线为l，焦点为F，过M(3,0)的直线PQ与l和C从左到右依次相交于A，P，Q三点，且|FQ|=10，则△FAP和△FAQ的面积之比为( )
A. 14B. 15C. 16D. 17
7.已知函数f(x)的定义域为R，且f(1)=1，f(x)=f(3−x)，f(x)+f(x+3)=f(2025)，则k=12025f(k)=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
8.甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为( )
A. 3196B. 1132C. 2164D. 2364
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 残差越小，模型的拟合效果越好
B. 若随机变量X～B(3,23)，则D(X+13)=1
C. 数据2，3，5，8，13，21，34的第80百分位数是21
D. 一组数x1，x2，…，xn(n∈N∗)的平均数为a，若再插入一个数a，则这n+1个数的方差不变
10.已知f(x)=sin(2x+π3)，则下列说法正确的是( )
A. f(x)在区间[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)上单调递增
B. 将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到曲线C，则曲线C关于原点对称
C. 若f(x+φ)是偶函数，则φ=kπ2+π12(k∈Z)
D. 若f(ωx)(ω>0)在区间[0,π]上恰有3个零点，则ω∈[43,116)
11.用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱画线，不间断、不重复，最终回到起点或到达另一个顶点的过程称为“1笔”.现定义：如果遍历一个空间多面体所有的顶点和棱至少需要n笔，则该多面体称为n笔画多面体.那么下列说法正确的是( )
A. 五棱锥是3笔画多面体B. 正方体是4笔画多面体
C. n棱锥是n−2笔画多面体D. n棱柱是n笔画多面体
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.( x−2x)5的展开式中含x项的系数为______．
13.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcsC+bsinC=a+c，则B= ______．
14.设函数f(x)=lnx+ax(a>0)，若方程f(f(x))=x在区间[2,4]上有解，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x2−5x+2lnx．
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间[14,4]上的最大值．
16.(本小题15分)
如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F分别为AC，BC的中点，将△CEF沿EF翻折至△PEF，使得PE⊥AE．

(1)证明：平面PBE⊥平面ABFE；
(2)求直线PB与平面PEF所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
记Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，4Sn=an2+2an−3，数列{bn}满足bn=an−an+1,n为奇数,an+an+1,n为偶数.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意n∈N∗，Tn≥10n+λ，求实数λ的取值范围．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.过点F1的直线l分别交C的左、右两支于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，且|AF1|⋅|BF1|=|AB|2．
(1)求y1y2的值；
(2)求e的取值范围；
(3)若e=3，证明：|AF2|=|BF2|.
19.(本小题17分)
记集合A，B为集合S={1,2,3,…,n}(n∈N∗)的两个子集，且满足A∪B=S，A∩B=⌀.定义：f(A,B)=|a∈A a−b∈B b|(a∈A a,b∈B b分别表示集合A，B中所有元素的和)．
(1)当n=4时，求f(A,B)的所有可能的值；
(2)求f(A,B)的最小值；
(3)设k为不超过n(n+1)2的自然数，且k与n(n+1)2的奇偶性相同，证明：存在A，B，使得f(A,B)=k．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：1−2i1+i=(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1−3i2=−12−32i，
则所求的虚部为：−32．
故选：C．
由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1−i，再由进行计算即可得到答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭复数，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握．
2.【答案】D
【解析】解：不等式elg2x>1，
则lg2x>0=lg21，解得x>1．
故选：D．
结合指数、对数不等式的解法，即可求解．
本题主要考查指数、对数不等式的解法，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由AB=3BC，可得AC=43AB，
又OA=a，OB=b，
则OC=OA+AC=AO+43(OB−OA)
=−13OA+43OB=−13a+43b．
故选：C．
由向量的线性运算即可求得结论．
本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：圆C：x2+y2−4x−6y+m=0整理可得C：(x−2)2+(y−3)2=13−m，
可知圆心为C(2,3)，半径r= 13−m，且m0；当x∈(e,4]时，g′(x)0；当x∈(12,2)时，f′(x)6ln e−74=3−74>0，
所以f(x)在区间[14,4]的最大值为f(4)=4ln2−4．
(1)先求出导函数，利用导数的几何意义知f(1)即为在x=1处的切线方程的斜率，再利用直线的点斜式即可写出切线方程；
(2)求出导函数的零点，得到在区间[14,4]上的单调性，可知最大值只能是f(12)或f(4)，利用作差法比较二者的大小即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
16.【答案】证明见解答；
33．
【解析】 (1)证明：连接BE，∵△ABC为等边三角形，E为AC中点，则BE⊥AE，
又∵PE⊥AE，且PE⊂平面PBE，BE⊂平面PBE，PE∩BE=E，∴AE⊥平面PBE，
又AE⊂平面ABFE，∴平面PBE⊥平面ABFE．
(2)解：过点P作PH⊥BE，垂足为H，∵平面PBE⊥平面ABFE，且平面PBE∩平面ABFE=BE，∴PH⊥平面ABFE，
又∵E，F分别为AC，BC中点，
翻折后，PE=1，PA= 12+12= 2，由对称性可知PB= 2，
又BE= 3，∴∠EPB=90°，由△BEP等面积得PH=1× 2 3= 63，
设直线PB和平面PEF所成角为θ，点B到面PEF的距离为ℎ，
由VB−PEF=VP−BEF，得13S△BEF⋅PH=13S△PEF⋅ℎ，
又S△BEF=14S△ABC=14×12×2×2×sin60°= 34，S△PEF=14S△ABC= 34，
∴ℎ= 63，sinθ=ℎPB= 33，故直线PB与平面PEF所成角的正弦值为 33．
(1)要证面面垂直，首先证线面垂直，即先证AE⊥面PBE，再由AE垂直于平面PBE内两条相交直线即可证明；
(2)可以利用等体积法求得点B到面PEF的距离ℎ，再由线面角的定义可得夹角的正弦值为ℎPB．
本题主要考查面面垂直的证明，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】an=2n+1； (−∞,−24]．
【解析】解：(1)由an>0，4Sn=an2+2an−3，可得4a1=4S1=a12+2a1−3，
解得a1=3(−1舍去)，
当n≥2时，4an=4Sn−4Sn−1=an2+2an−3−an−12−2an−1+3，
化为(an−an−1)(an+an−1)=2(an+an−1)，
由an>0，可得an−an−1=2，
即有数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，则an=3+2(n−1)=2n+1；
(2)数列{bn}满足bn=an−an+1,n为奇数,an+an+1,n为偶数.=2(2k−1)+1−4k−1=−2,n=2k−14k+1+2(2k+1)+1=8k+4,n=2k，k∈N∗，
则当n为偶数时，Tn=(−2−2−...−2)+(12+20+...+4n+4)=−2×n2+12×n2(12+4n+4)=n2+3n，
由任意n∈N∗，Tn≥10n+λ，可得λ≤n2−7n恒成立，由n2−7n在n=4时取得最小值−12，
可得λ≤−12；
当n为奇数时，Tn=Tn−1+bn=(n−1)2+3(n−1)−2=n2+n−4，
由任意n∈N∗，Tn≥10n+λ，可得λ≤n2−9n−4恒成立，由n2−9n−4在n=5时取得最小值−24，
可得λ≤−24；
综上，可得λ≤−28，即λ的取值范围是(−∞,−24]．
(1)由数列的通项与求和的关系，以及等差数列的定义、通项公式，计算可得所求；
(2)求得bn，讨论n为偶数和奇数时，求得Tn，再由二次函数的最值和不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
本题考查数列的通项与求和的关系，以及等差数列的定义、通项公式和求和公式，不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
18.【答案】y1y2=3− 52；
( 5,+∞)；
证明见解答．
【解析】解：(1)如图，
设直线l与x轴所成锐角为θ，
则|y1||AF1|=sinθ⇒|AF1|=|y1|sinθ，同理得出|AF2|=|y2|sinθ,|AB|=|y1−y2|sinθ，
因为|AF1|⋅|BF1|=|AB|2，即|y1||y2|sin2θ=|y1−y2|2sin2θ，即|y1||y2|=|y1−y2|2，
因为y1，y2同号且00，则b2m2−a2>0，
由(1)知(y1+y2)2=5y1y2，即(2mcb2b2m2−a2)2=5b4b2m2−a2，
化简得m2=5a25b2−4c2,1m2=e25−1，
由b2m2−a2>0，所以0