四川省绵阳市2025届高三下学期4月三诊数学（A卷）试题（PDF版附答案）

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
BABC DACC
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．ACD10．AB11．AB
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．−813．0.4214．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）设数列公比为，
由，，成等差数列得：，3分
∴，即：，可得，5分
数列{an}的通项公式为：；6分
（2）
7分
8分
9分
11分
（或）．13分
16．解：（1），令，1分
∵函数在处取得极值．
∴，则，2分
，3分
令，可得，或，4分
，，单调递增；
，，单调递减；5分
，，单调递增，6分
∴的极小值为；7分
（2）由（1）可知在[1，2]上单调递减，8分
∴，，9分
∴，10分
∴13分
∴当，．15分
17．解：（1）梯形中DA，CB，EF不平行，延长D1A1，CB，EF，
记，，
∵，2分
∴△MFD1≌△NFC，则FM=FN，即M，N重合，3分
∴，所以A1，B，D1，C四点共面；4分
（2）∵平面A1EFD⊥平面BEFC，面面，，
∴D1F⊥面，则D1F⊥面CF，5分
易知FE，FC，FD1两两垂直，不妨以F为坐标原点，以FE，FC，FD1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．6分
不妨设A1E=BE=a，则，，，C(0，a+1，0)，D1(0，0，a+1)，
则，，7分
由可知，，
可解，8分
∴；9分
（3）∵平面面，记面面，在平面EFP内过点E作直线m⊥l，
∴，10分
又∵面，∴，且面，面，
∴面，∴，
在等腰直角三角形△D1FC中FP为中线，即点P为CD1的中点；11分
由第（2）问可知，，C(0，3，0)，
则，12分
不妨设平面BFP的法向量为n=(x，y，z)，取平面BEFC的法向量为m=(0，0，1)平面BFP与平面BEFC所成角为，
即，不妨取， 13分
则，14分
∴平面BFP与平面BEFC夹角的余弦值为．15分
18．解：（1），则即a=1，1分
又，解得，2分
∴双曲线C的方程为．3分
（2）方法一：设，则由，
可得：，4分
又点T在双曲线C上，则，
化简整理得：，5分
又，均在双曲线C上，则，，
代入上式整理得：…… = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①，6分
易知直线l1的斜率为0时，不符合题意，
设直线l1方程为，则，
代入①得：…… = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
联立，得：，7分
由韦达定理可得：，8分
代入 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②式得：，9分
解得：，即，此时，则直线l1与双曲线C右支有两个交点，
即直线l1方程为；10分
方法二：易知直线l1的斜率为0时，不符合题意，设直线l1方程为，，MN的中点为P(x0，y0)，
联立，得代入①得：，4分
由韦达定理可得：，5分
∴，，6分
则由=
∴，7分
代入双曲线C的方程可得：，
∴，8分
∴，或，9分
当时，直线l1与双曲线的渐进性平行，不符合题意，
∴直线l1方程为；10分
（3）设直线l1方程为，直线l2方程为，
由，则，即，11分
∴，，则(当且仅当时取等号)
设，，，，
则，
同理可得：，12分
故，
同理：，
∴…… = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③13分
联立得：，
由韦达定理可得：，同理可得：，代入 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③得：
=
=14分
令，则，15分
令，则在区间[6，10)上单调递增，
∴，16分
故当，时，的最小值为．17分
方法二：（当且仅当，时，等号成立），16分
∴的最小值为．17分
19．解：（1）当n = 3时，巴士从(0，0)行驶到(2，1)时，共有种行驶路线；
从(2，1)行驶到(3，3)时，共有种行驶路线；2分
因此经过(2，1)的行驶路线共有种；4分
（2）（i）方法一：
除去起点A与终点B外，巴士一定会经过7个格点，若游客恰好游览了7个景点，说明巴士一定不经过AB对角线上的格点．
∴巴士第一步必然到达(1，0)或(0，1)格点，且必然从(4，3)或(3，4)到达终点．在这个过程中既不会穿过AB对角线，也不会到达对角线上的格点．5分
考虑对称性，不妨先计算从格点(1，0)到达格点(4，3)，且不经过(1，0)与(4，3)连线上方格点的路线总数．6分
假设向右行驶记为1，向上行驶记为−1，那么每条行驶路线实际唯一对应一个含3个1与3个−1的序列a1，a2，…，a6．行驶路线不经过(1，0)与(4，3)连线上方格点，等价于对任意前k段，向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即．
根据题意，满足条件的路线总数应为种．8分
从而从格点(0，1)到达格点(3，4)，且不经过(0，1)与(3，4)连线上方格点的路线总数也为5种．
因此游客游览了7个景点的路线总数为10种．9分
方法二：当n = 4时，巴士总共有种行驶路线，5分
除去起点A与终点B外，巴士一定会经过7个格点，若游客恰好游览了7个景点，说明巴士一定不经过AB对角线上的格点，即(1，1)，(2，2)，(3，3)，
设经过格点C(1，1)，D(2，2)，E(3，3)分别为事件C，D，E，
则经过格点C的路线总数为种，
经过格点D的路线总数为种，
经过格点E的路线总数为种，
经过格点C与格点D的路线总数为种，
同理种，种，
经过格点C，D，E的路线总数为种，7分
因此经过格点C或格点D或格点E的路线总数为：
，8分
用韦恩图可如上图表示，
故游客恰好游览了7个景点的路线总数为种；9分
（ii）要保证游客能够分别浏览两个景区至少1个景点，即行驶路线必须穿过对角线AB．不妨先考虑只经过AB及其右下方格点的行驶路线，设总数为R(n)，假设向右行驶记为1，向上行驶记为−1，那么每条行驶路线实际唯一对应一个含n个1与n个−1的序列a1，a2，…，a2n．行驶路线不经过AB左上方的格点，等价于对任意前k段，向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即，10分
由题意11分
12分
∴行驶路线不经过AB右下方格点的种数也应为，
∴行驶路线穿过对角线AB的种数为，
故．
只需证：，n≥5．13分
当n = 5时，，上式显然成立．
当n≥6时，令，
显然，．14分
且，
∵ ()，当且仅当时取等，
不难知，故，15分
所以，16分
即，
综上所述：．17分
（注：也可以假设，对整理后的一元二次不等式进行验证）