江苏省海安高级中学2023-2024学年高三上学期12月月考试题 数学试卷（含答案）

这是一份江苏省海安高级中学2023-2024学年高三上学期12月月考试题 数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了12，设集合，集合，则，已知，则，已知为正实数，，则等内容，欢迎下载使用。
2023.12
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.设集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（ ）
A.3 B. C.2 D.
3.已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.《Rhind Papyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把200个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A. B. C. D.
6.若直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，且线段中点的横坐标为4，则（ ）
A.12 B.14 C.16 D.18
7.已知圆，点是圆内一点，过点的圆的最短弦所在直线为，直线的方程为，则（ ）
A.，且与圆相离 B.，且与圆相切
C.，且与圆相交 D.，且与圆相离
8.已知，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
9.甲､乙两地12月初连续7天的日最高气温数据如图所示，则关于这7天，以下判断正确的是（ ）
A.甲地日最高气温的平均数为 B.甲地日最高气温的极差为
C.乙地日最高气温的众数为 D.乙地日最高气温的中位数为
10.已知为正实数，，则（ ）
A.的最大值为1 B.的最小值3
C.的最小值为 D.的最小值为
11.在平行六面体中，分别是的中点，是线段上的两个动点，且，以为顶点的三条棱长都是1，，则（ ）
A.平面 B.
C.三棱锥的体积是定值 D.三棱锥的外接球的表面积是
12.定义在上的函数满足如下条件：①；②当时，.则（ ）
A. B.在上是增函数
C.是周期函数 D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13.“北依长江，南临太湖､江苏之南，明珠无锡.总要来趟无锡吧”!某游客从鼋头渚､梅园､蠡园､锡
惠公园､灵山胜境､拈花湾六个景点中任选三个进行游览，则他选中鼋头渚的概率为__________.
14，若某圆锥高为4，其侧面积与底面积之比为3：1，则该圆锥的体积为__________.
15.已知函数图象上有一最低点，将此函数的图象向左平移个单位长度得的图象，若函数的图象在处的切线与的图象恰好有三个公共点，则的值是__________.
16.已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分､请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
设内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求角的角平分线的长.
18.（本题满分12分）
某大型公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试，只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节，已知2023年共有1000人参加该公司的笔试，笔试成绩.
（1）从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有一人进入面试的概率；
（2）甲､乙､丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为.设这三名应聘人员中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
（参考数据：若，则，
19.（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，点是的重心.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.
20.（本题满分12分）
已知数列的首项，且满足，记.
（1）证明：是等比数列；
（2）记，证明；数列的前项和.
21.（本题满分12分）
将圆上各点的横坐标变为原来的5倍，纵坐标变为原来的4倍，所得的曲线为.记曲线与轴负半轴和轴正半轴分别交于两点，为轴上一点.
（1）求曲线的方程；
（2）连接交曲线于点，过点作轴的垂线交曲线于另一点.记的面积为，记的面积为，求的取值范围.
22.（本题满分12分）
已知函数.
（1）求函数（其中）的单调区间；
（2）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围.
12月数学测试参考答案
1-8BDCB BCAD
9.AD 10.ABD 11.ACD 12.ABD
13. 14. 15. 16.
17.（1）由题设及正弦定理得.
因为，所以.
由，可得，故.
因为，故，因此.
（2）因为，所以
设的角平分线交于，因为，
所以，所以
18.（1）记“至少有一人进入面试”，由已知得，
所以，
则
即这4人中至少有一人进入面试的概率为0.499.
（2）的可能取值为，
则随机变量的分布列为
所以.
19.（1）证明：平面平面.
又平面平面，
又平面平面平面；
（2）取中点为，连接，
因为，
则，即四边形为矩形，故，
又平面平面，则可得两两垂直，
故以为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，
易证，又，所以点是的重心，
，
又，设平面的一个法向量，
则，即，取，
设与平面所成角为，
.
化简得，，
解得或或，即的长度为或.
20.（1）因为，所以，
所以，
因为，所以；
因为，所以，
所以，
所以是以5为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，
因为，
所以得证.
21.（1）设曲线上任一点的坐标为，圆上的对应点的坐标为，
由题意可得，因为，所以曲线的方程为；
（2）连接交轴于点.
直线，联立解得点，
因为关于轴对称，所以
所以直线，所以，
所以
因为，所以.
法二：（转化为到的距离与到距离之比）
22.（1），因为，
所以
①当时，恒成立，此时在上单调递增；
②当时，.
当时，恒成立，此时在上单调递增；
当时，当时，当时，
此时在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，的增区间为；无减区间；
当时，增区间为；减区间为.
（2）不等式对一切正实数恒成立，
即对一切正实数恒成立.
当时，，则；
当时，，则.
因此当时，恒成立.
又当时，，故当时，恒成立.
下面讨论的情形.
当且时，.
设且
记.
①当，即时，恒成立，故在及上单调递增.
于是当时，，又，故，即.
当时，，又，故，即.
又当时，.
因此当时，对一切正实数恒成立.
②当，即时，设的两个不等实根分别为.
函数图像的对称轴为，
又，于是.
故当时，，即，从而在在单调递减；
而当时，，此时，于是，
即，
因此当时，对一切正实数不恒成立.0
1
2
3