河南省南阳市六校联盟体2024-2025学年高一下学期4月期中模拟联考数学试题（解析版）

这是一份河南省南阳市六校联盟体2024-2025学年高一下学期4月期中模拟联考数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A
2. 已知在中，且，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】因，则，
故，
则，所以．
故选：D
3. 以下变换中，能将函数的图象变为函数的图象的是（ ）
A. 每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度
B. 每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
D. 向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
【答案】B
【解析】对于A，变换后的函数为
，故A错误；
对于B，变换后的函数为
，故B正确；
对于C，变换后的函数为
，故C错误；
对于D，变换后的函数为
，故D错误.
故选：B
4. 已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为向量，，则，
所求投影向量的坐标为．故选：B.
5. 已知函数①，②，③，④，⑤，则下列选项中同时满足（1）是偶函数，（2）最小正周期是，（3）对称轴相同这三个条件的是（ ）
A. ①②⑤B. ①③④C. ②③⑤D. ③④⑤
【答案】B
【解析】结合三角函数图象与图象变换，依次画出①②③④⑤的函数图象，
由图象可知，②⑤不是周期函数，故②⑤不符合；
①③④均为偶函数，最小正周期为，对称轴为，符合所有条件.
故选：B
6. 在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为且，有两解，
所以，得．
故选：C
7. 函数的单调递减区间和值域分别为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】由题，则，即，
又为上的增函数，且，
所以所求函数值域为；函数的单调递减区间即为函数在上的减区间，
所以，解得所求单调递减区间为.
故选：D
8. 已知，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】作出图形如图所示，扇形，
设半径为1，，
设，，由图可知，
又，
所以，所以，
由，，得．，
，故．故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 周期函数不一定有最小正周期
B. 时针走了1小时40分钟，则分针转过的角是
C. 若角满足，，则一定为第四象限角
D. 点是函数图象的一个对称中心
【答案】ABD
【解析】对于A，函数是周期函数，但没有最小正周期，故A正确；
对于B，易知分针转过的角是，故B正确；
对于C，由，可得：，，
所以一定为第三象限角，故C错误；
对于D，由，可知是函数图象的一个对称中心，故D正确．故选：ABD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 在中，若，，则
C. 已知向量，，与夹角为钝角，则实数的取值范围是
D. 已知，，为的内角，，的对边，则“”的充要条件是“”
【答案】BCD
【解析】对于A，因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由即
解得，故C正确；
对于D，由正弦定理，可知，故D正确．
故选：BCD.
11. 已知是表示不超过的最大整数（比如：，），则下列说法错误的是（ ）
A. 函数是周期函数，最小正周期是
B. 函数是周期函数，最小正周期是
C. 若函数，则的值域是
D. 当时，函数的零点有5个
【答案】BD
【解析】对于A，因为的最小正周期是，即，
所以，所以函数是周期函数，最小正周期是，故A正确；
对于B，因为，则，
所以不是函数的最小正周期，故B错误；
对于C，因，所以，，
所以当时，；当时，，则，故C正确；
对于D，函数的零点就是函数与的图象的交点，其中，函数是周期为1的函数，其值域为，
当时，函数与的图象如下，
由图象可知，它们在内有6个交点，故D错误．
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知单位向量，的夹角为，则向量，的夹角为______．
【答案】或
【解析】由已知，，所以，又，，
所以，
，
，
设向量，的夹角为，所以．又因为，所以.所以向量，的夹角为．故答案为：.
13. 已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】令，则，
原方程可转化为关于的方程在上有解，
分离参变量得：，
即等价于直线与函数的图象在内有交点．
又因为的图象开口向下，对称轴为直线，
所以上单调递增，在上单调递减，
所以，即．
故答案为：.
14. 如图，在梯形中，，，是边所在直线上的动点，若该梯形的面积为，则的最小值为______．
【答案】16
【解析】取的中点，作，垂足为，
则，
因为该梯形的面积为，且，，
则，即，
可得，
所以的最小值为16.
故答案为：16.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）已知向量，，若，求实数的值；
（2）已知向量，，，若，求的值．
解：（1）因为，所以由，解得．
（2）因为，，．所以．
因为，所以，
即，解得，
即，所以．
16. 已知某扇形的周长是8．
（1）当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小；
（2）在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．）．
解：（1）设该扇形的半径为，弧长为，
则，
当且仅当时，等号成立，
此时该扇形的面积，，
其圆心角，故所求圆心角．
（2）由（1）知，．又因为两半径与圆心角所对弦构成的三角形面积，所以所求弓形的面积，故所求弓形的面积是．
17. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）将的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变成原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，求的单调递减区间和其图象的对称中心．
解：（1）由的部分图象知，当时，，
当时，，解得，．
因为，所以，则．
因为且，得，故．
（2）将的图象先向左平移个单位长度，得到的图象，
将所有点的横坐标变成原来的，纵坐标保持不变，得的图象．
令，整理得，，
故的单调递减区间为，．
令，则，故图象对称中心为，．
18. 在中，，，分别是角，，的对边，已知是锐角，向量，，且．
（1）若，求实数的值．
（2）已知．
（i）求面积的最大值；
（ii）在（i）的条件下，判断的形状．
解：（1）因为是锐角，且，，
所以，
解得或（舍去），所以，
由余弦定理得，
又，则，结合，
所以．
（2）（i）由（1）知，，
由余弦定理得，
即，得，
当且仅当时，等号成立，
则，即面积的最大值为.
（ii）由（i）可知， 取得最大值时，，
又，所以为等边三角形．
19. 我市某大型综合商场门前有条长120米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有24个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，该商场郭经理提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边的绿化带及改变停车位的方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度米，停车位相对道路倾斜的角度，其中．
（1）若，求和的长；
（2）求关于的函数表达式；
（3）若，按照郭经理的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加了多少个？
解：（1）由题意得米，米，，
则，即．
由，且，，可得，，
则米，米．
（2）由（1）可得，，
，
故，．
（3）由，可得，即．
设，则，
整理得，解得．
由，可得．
当时，解得，，不符合题意；
当时，解得，，符合题意．
设改造后停车位数量的最大值为，如图，过停车位顶点作的垂线，垂足为，
则顶点到线段的距离为．
由图及题意可知，，
则．因为，
所以，，，
则．由题可知，即，解得，则取，故该路段改造后停车位比改造前增加了个．