北京市丰台区2025届高三下学期3月一模试题 数学 含答案

这是一份北京市丰台区2025届高三下学期3月一模试题 数学 含答案，共11页。试卷主要包含了03， 已知集合，，则， 在的展开式中，常数项是等内容，欢迎下载使用。
2025.03
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（ ）
A. 5B. C. 3D.
3. 在的展开式中，常数项是（ ）
A. 60B. －60C. 160D. －160
4. 已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上.若M的横坐标为1，且，则p的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
6. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
7. 已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，则“，”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
9. 图1是出土于陕西西安的金筐宝钿团花纹金杯.它杯口外侈，器壁内弧，腹部内收，圈足外撇，肩部有“6”字形把手.金杯采用复杂的金筐宝钿工艺，器腹以如意云头纹分割，内焊团花，边缘排满小金珠，是唐代金银器精品.图2是某校陶艺社团的同学仿照金筐宝钿团花纹金杯制作的一只团花纹陶艺杯，其主体部分（忽略杯底部分）外轮廓可近似看作双曲线C的一部分.经测量，该陶艺杯主体部分上底直径（即杯口直径）约，下底直径约，腹部最细处直径约，主体部分高约，则下列各数中与双曲线C的离心率最接近的是（ ）（参考数据：，）
A. B. 2C. D. 3
10. 如图，正方体的棱长为2，E为的中点，F为线段上的动点，给出下列四个结论：
①存在唯一的点F，使得A，，E，F四点共面；
②的最小值为；
③存在点F，使得；
④有且仅有一个点F，使得平面截正方体所得截面的面积为.
其中所有正确结论的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知直线与圆有且仅有一个公共点，则______.
12. 已知函数当时，______；若在上单调递增，则实数a的取值范围是______.
13. 已知，，是公比不为1的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为______.
14. 已知函数的部分图象如图所示，其中M，N是直线与曲线的两个相邻交点.若，则______，______.
15. 已知函数.给出下列四个结论：
①当时，在区间上单调递增；
②对任意实数a，都没有最小值；
③当时，设的零点从大到小依次为，，，…，则对任意正整数i，都有；
④对任意实数a，m，存在实数，当时，恒有.
其中所有正确结论的序号为______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题13分）
在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17.（本小题14分）
如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题13分）
京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：
注：以下高铁车次均能准点到达
（Ⅰ）某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率；
（Ⅱ）甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响.
（i）记随机变量X为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求X的分布列和数学期望；
（ii）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明）
19.（本小题15分）
已知椭圆E：，以E的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且面积为1.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆E交于不同的两点M，N.过M作直线的垂线，垂足为Q.求证：直线过定点.
20.（本小题15分）
已知函数，直线l是曲线在点处的切线.
（Ⅰ）当，（e为自然对数的底数）时，求l的方程；
（Ⅱ）若存在l经过点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当时，设点，，B为l与y轴的交点，表示的面积.求的最小值.
21.（本小题15分）
已知无穷递增数列各项均为正整数，记数列为数列的自身子数列.
（Ⅰ）若，写出数列的自身子数列的前4项；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）若数列与是公差分别为，的等差数列.
（i）证明：；
（ii）当，时，求数列的通项公式.
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 12. 0； 13. 1，－2，4（答案不唯一） 14. 2， 15. ②④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题13分）
解：（Ⅰ）在中，因为，
由余弦定理，得.
因为，所以.…………5分
（Ⅱ）选择条件①：
因为，所以，.
由题意得，所以（1）.
因为，，
所以
.
由正弦定理，得（2），
由（1）（2）解得，所以.…………13分
选择条件②：
由题意得，所以（1）.
因为，且，所以.
又，所以（2）
由（1）（2）解得或.…………13分
17.（本小题14分）
解：（Ⅰ）在中，因为，，，
所以.
所以.
又，所以.
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面.…………5分
（Ⅱ）分别取，中点O，E，连接，.所以.
因为，所以.
又因为为等边三角形，所以.
因为平面，平面，所以.
又因为，所以.
所以，，两两垂直.如图建立空间直角坐标系，
则，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则即
令，则，.于是.
设直线与平面所成角为，则
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.…………14分
18.（本小题13分）
解：（Ⅰ）上表中的7趟车次中，列车运行时长不超过10小时的有4趟.
设事件“从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，这趟列车的运行时长不超过10小时”，则.…………3分
（Ⅱ）（i）甲选取的列车运行时长不超过10小时的概率为，乙选取的列车运行时长不超过10小时的概率为，丙选取的列车运行时长不超过10小时的概率为.
X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
X的数学期望.…………11分
（ii）甲.…………13分
19.（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意得解得，，.
所以椭圆E的方程为.…………5分
（Ⅱ）由题意知，直线的斜率存在.
设直线的方程为，点，，则，
由得.
因为，所以，且，.
直线的方程为：，
令，得，即，
当时，
，
解得，所以直线过定点.
当时，直线为x轴.
综上，直线过定点.…………15分
20.（本小题15分）
解：（Ⅰ）当，（e为自然对数的底数）时，
，，
，，
所以直线l的方程为，即.…………4分
（Ⅱ）因为，所以.
因为，所以.
所以直线l的方程为.
因为l经过点，所以，化简得.
设，由题意知，存在，使得.
又因为，
当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
所以在时取得最小值.
因为，所以，解得.
此时.
因为，
所以只需.所以a的取值范围是.…………9分
（Ⅲ）当时，，，
，，
直线l的方程为.
令，得，即，
所以.
由（Ⅱ）知，当时，在时取得最小值，
因为，所以恒成立，
所以当时，取得最小值.…………15分
21. （本小题15分）
解：（I）1，5，9，13，（4分）
（II）因为数列 是递增数列且各项均为正整数，于是，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
C
C
D
A
C
B
B
X
0
1
2
3
P